格兰迪级数(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由意大利数学家格兰迪（英语：Luigi Guido Grandi）发表的，后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n}$

它是一个发散级数，也因此在一般情况下，这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的“和”出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为${\displaystyle \frac{1}{2}}$。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 简介 求和性 切萨罗和 发散性 格兰迪级数的应用 狄拉克梳 狄利克雷级数 物理学 相关条目 参考资料 [/micxp_title] [#] 针对以下的格兰迪级数

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一种求和方式是求它的裂项和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若调整括弧的位置，会得到不同的结果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式为格兰迪级数加上括弧进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。 格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：

${\displaystyle S}$ = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − ${\displaystyle S}$ = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ${\displaystyle S}$，即

2${\displaystyle S}$ = 1，

可得到${\displaystyle S}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$[1]。 依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：

• 格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在[1][2]。
• 格兰迪级数的和为${\displaystyle \frac{1}{2}}$[2]。

上述二个答案都可以精确的证明，但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起，一直到现在严谨的数学成型之前，上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论[3][4]。 [##] [###] 主条目：切萨罗求和 恩纳斯托·切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的概率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个n，计算前n项的和σn的平均，当n趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。 以格兰迪级数而言，而数列 ${\displaystyle \frac{s_1+\cdots +s_n}{n}}$的各项分别为

${\displaystyle \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots }$,

而

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=\frac{1}{2}}$

因此，格兰迪级数的切萨罗和为 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$。 也可以用广义的切萨罗和(C, a)来计算[6]。 [####] 这个级数的部分和如下：

S1 = 1

S2 = 1 − 1 = 0

S3 = 1 − 1 + 1 = 1

S4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0…

由此得出另一个无穷序列${\displaystyle S_1,S_2,S_3,S_4,...=1,0,1,0,...}$， 根据无穷级数的定义，

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$

但是${\displaystyle S_n}$的无穷序列无法收敛到某个固定的值（不断在0和1之间来回变动）， 所以${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$发散， 因此${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n}$这个级数也发散。 [#####] [######] 格兰迪级数在另一个重要的级数中出现：

${\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (kx).}$

若x = π，其上述级数化简为−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，欧拉认为其值符合以下的关系式Σ cos kx = −1⁄2，不过达朗贝尔不同意此关系式，而拉格朗日认为这可以用类似欧拉对格兰迪级数的理解来延伸说明[7]。 欧拉的声明推测

${\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (kx)=0?}$

针对所有的x，此级数都发散，不过对于几乎所有的x，切萨罗和均为0。不过在x = 2πn时，其级数发散，而且是狄拉克梳（英语：Dirac comb）的傅立叶级数。其一般和、切萨罗和及阿贝尔和分别和狄利克雷核、费耶核及泊松核（英语：Poisson kernel）的极限有关[8]。 [#######] 主条目：狄利克雷η函数 将格兰迪级数各项乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数

${\displaystyle \eta (z)=1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^z},}$

上述级数只有在实部大于0的复数z才会收敛，若令z = 0，即为格兰迪级数。 不同于几何级数，狄利克雷级数对于1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和没有什么帮助。即使在右半平面上，上述的${\displaystyle \eta (z)}$也无法用初等函数来表示，也没有直接证据可以证明当z趋近0时，${\displaystyle \eta (z)}$的极值。 另一方面，若使用其他较强的求和法，则上述的${\displaystyle \eta (z)}$可定义一个在整个复数平面的函数－狄利克雷η函数，而且此函数为解析函数。若z的实部> −1，就可以用切萨罗和进行求和，因此η(0) = 1⁄2。 狄利克雷η函数和另一个著名的狄利克雷级数及函数有关：

其中ζ为黎曼ζ函数。若将格兰迪级数的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1⁄2。参照1 + 1 + 1 + 1 + …。 上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η(z)和(1 − 21−z)相除的结果，二个函数在整个复数平面均为解析函数，而后者的零点是在z = 1的简单零点，因此可得ζ(z)为亚纯函数，只在z = 1有一个极点[9]。 [########] 格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现，最典型的是量子化的费米子场，其中同时有正的及负的特征值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不过这些级数也出现在玻色子的相关研究中，例如卡西米尔效应。 在光谱非对称性（英语：spectral asymmetry）领域也会用到由格兰迪级数衍生的级数，而其求和方式是正规化的一部分，例如ζ函数正规化（英语：zeta function regulator）就是其中的一种。 [#########]  数学主题首页

• 交错级数

[##########]

1. ^ 1.0 1.1 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. 1994: 77. ISBN 0-7167-6022-3. 
2. ^ 2.0 2.1 Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ^ Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371. 
4. ^ Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
5. ^ Davis pp.152, 153, 157
6. ^ Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
7. ^ Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004. 
8. ^ Davis pp. 153–159
9. ^ Knopp pp. 491–492

查 论 编 级数与序列 算术序列 发散级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 几何序列 收敛级数 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … 发散几何级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 超几何级数 广义超几何函数 · 矩阵参数的超几何函数（英语：Hypergeometric function of a matrix argument） · 超几何级数 · 椭圆超几何级数（英语：Elliptic hypergeometric series） · 黎曼微分方程（英语：Riemann's differential equation） 整数序列 整数数列线上大全列表（英语：List of OEIS sequences） · 阶乘 · 斐波那契数列 · 三角形数 · 立方数 · 平方数 · 多边形数 · 五角数 · 六边形数 · 七边形数 · 卢卡斯数 其他序列 发散级数 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

分类：

• 级数
• 发散级数
• 等比级数
• 数学悖论
• 交错级数

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• 引文格式1维护：冗余文本
• 含有英语的条目

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格兰迪级数(Grandi's series)，即1 − 1 + 1 − 1 + …，是在1703年由意大利数学家格兰迪（英语：Luigi Guido Grandi）发表的，后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作

${\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n}$

它是一个发散级数，也因此在一般情况下，这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时，就会有特定的“和”出现。格兰迪级数的欧拉和和切萨罗和均为${\displaystyle \frac{1}{2}}$。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 简介 求和性 切萨罗和 发散性 格兰迪级数的应用 狄拉克梳 狄利克雷级数 物理学 相关条目 参考资料 [/micxp_title] [#] 针对以下的格兰迪级数

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一种求和方式是求它的裂项和：

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若调整括弧的位置，会得到不同的结果：

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式为格兰迪级数加上括弧进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。 格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：

${\displaystyle S}$ = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此

1 − ${\displaystyle S}$ = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ${\displaystyle S}$，即

2${\displaystyle S}$ = 1，

可得到${\displaystyle S}$ = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$[1]。 依照上述的计算，可以得到以下的二种结论：

• 格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在[1][2]。
• 格兰迪级数的和为${\displaystyle \frac{1}{2}}$[2]。

上述二个答案都可以精确的证明，但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起，一直到现在严谨的数学成型之前，上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论[3][4]。 [##] [###] 主条目：切萨罗求和 恩纳斯托·切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法，就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的概率法，一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个n，计算前n项的和σn的平均，当n趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。 以格兰迪级数而言，而数列 ${\displaystyle \frac{s_1+\cdots +s_n}{n}}$的各项分别为

${\displaystyle \frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots }$,

而

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{s_1+\cdots +s_n}{n}=\frac{1}{2}}$

因此，格兰迪级数的切萨罗和为 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$。 也可以用广义的切萨罗和(C, a)来计算[6]。 [####] 这个级数的部分和如下：

S1 = 1

S2 = 1 − 1 = 0

S3 = 1 − 1 + 1 = 1

S4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0…

由此得出另一个无穷序列${\displaystyle S_1,S_2,S_3,S_4,...=1,0,1,0,...}$， 根据无穷级数的定义，

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$

但是${\displaystyle S_n}$的无穷序列无法收敛到某个固定的值（不断在0和1之间来回变动）， 所以${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$发散， 因此${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n}$这个级数也发散。 [#####] [######] 格兰迪级数在另一个重要的级数中出现：

${\displaystyle \cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (kx).}$

若x = π，其上述级数化简为−1 + 1 − 1 + 1 − · · ，欧拉认为其值符合以下的关系式Σ cos kx = −1⁄2，不过达朗贝尔不同意此关系式，而拉格朗日认为这可以用类似欧拉对格兰迪级数的理解来延伸说明[7]。 欧拉的声明推测

${\displaystyle 1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\cos (kx)=0?}$

针对所有的x，此级数都发散，不过对于几乎所有的x，切萨罗和均为0。不过在x = 2πn时，其级数发散，而且是狄拉克梳（英语：Dirac comb）的傅立叶级数。其一般和、切萨罗和及阿贝尔和分别和狄利克雷核、费耶核及泊松核（英语：Poisson kernel）的极限有关[8]。 [#######] 主条目：狄利克雷η函数 将格兰迪级数各项乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数

${\displaystyle \eta (z)=1-\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}-\frac{1}{4^z}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^z},}$

上述级数只有在实部大于0的复数z才会收敛，若令z = 0，即为格兰迪级数。 不同于几何级数，狄利克雷级数对于1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和没有什么帮助。即使在右半平面上，上述的${\displaystyle \eta (z)}$也无法用初等函数来表示，也没有直接证据可以证明当z趋近0时，${\displaystyle \eta (z)}$的极值。 另一方面，若使用其他较强的求和法，则上述的${\displaystyle \eta (z)}$可定义一个在整个复数平面的函数－狄利克雷η函数，而且此函数为解析函数。若z的实部> −1，就可以用切萨罗和进行求和，因此η(0) = 1⁄2。 狄利克雷η函数和另一个著名的狄利克雷级数及函数有关：

其中ζ为黎曼ζ函数。若将格兰迪级数的和再配合上述公式，可以得到ζ(0) = −1⁄2。参照1 + 1 + 1 + 1 + …。 上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η(z)和(1 − 21−z)相除的结果，二个函数在整个复数平面均为解析函数，而后者的零点是在z = 1的简单零点，因此可得ζ(z)为亚纯函数，只在z = 1有一个极点[9]。 [########] 格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现，最典型的是量子化的费米子场，其中同时有正的及负的特征值，例如手征口袋模型（chiral bag model）。不过这些级数也出现在玻色子的相关研究中，例如卡西米尔效应。 在光谱非对称性（英语：spectral asymmetry）领域也会用到由格兰迪级数衍生的级数，而其求和方式是正规化的一部分，例如ζ函数正规化（英语：zeta function regulator）就是其中的一种。 [#########]  数学主题首页

• 交错级数

[##########]

1. ^ 1.0 1.1 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. 1994: 77. ISBN 0-7167-6022-3. 
2. ^ 2.0 2.1 Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
3. ^ Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371. 
4. ^ Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
5. ^ Davis pp.152, 153, 157
6. ^ Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
7. ^ Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004. 
8. ^ Davis pp. 153–159
9. ^ Knopp pp. 491–492

查 论 编 级数与序列 算术序列 发散级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 3 + 4 + … · 无穷算术级数 几何序列 收敛级数 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + … · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + … 发散几何级数 1 + 1 + 1 + 1 + … · 1 + 2 + 4 + 8 + … · 1 − 2 + 4 − 8 + … · 1 − 1 + 1 − 1 + … · 2的幂 超几何级数 广义超几何函数 · 矩阵参数的超几何函数（英语：Hypergeometric function of a matrix argument） · 超几何级数 · 椭圆超几何级数（英语：Elliptic hypergeometric series） · 黎曼微分方程（英语：Riemann's differential equation） 整数序列 整数数列线上大全列表（英语：List of OEIS sequences） · 阶乘 · 斐波那契数列 · 三角形数 · 立方数 · 平方数 · 多边形数 · 五角数 · 六边形数 · 七边形数 · 卢卡斯数 其他序列 发散级数 1 − 2 + 3 − 4 + … · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯

分类：

• 级数
• 发散级数
• 等比级数
• 数学悖论
• 交错级数

隐藏分类：

• 引文格式1维护：冗余文本
• 含有英语的条目

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