标准布朗桥（英语：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。

非标准的 布朗桥 只是在条件 ${\displaystyle [B_{t_1}=a,B_{t_2}=b]}$下一般化的布朗桥。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 定义 和其他随机过程的关系 扩散形式下的表达 性质 相关条目 参考文献 备注 [/micxp_title] [#]

标准的布朗桥 ${\displaystyle (B_t,t\ge 0)}$为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件${\displaystyle B_0=B_1=0}$下的维纳过程 （Wiener Process）。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 ${\displaystyle (B_{t_1},...,B_{t_n})}$在条件 ${\displaystyle B_1=0}$下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：

${\displaystyle \mathrm{\forall }0\le t\le 1,\mathbb{E}[B_t|B_1=0]=0,}$

定义的备注 事件${\displaystyle [B_1=0]}$ 的概率为0。 考虑满足

的事件 ， 我们可以考察条件分布 。 由依分布收敛 可得：

这给出了布朗桥的一个严格定义。
[##] [###] 也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 ${\displaystyle W}$ 是一种标准的布朗桥，随机方程

${\displaystyle d{X}_t=d{W}_t-\frac{X_t}{1-t}dt}$

初始条件${\displaystyle X_0=0}$的解和布朗桥同分布。 事实上, ${\displaystyle X}$是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。 [####] 设${\displaystyle (B_t,0\le t\le 1)}$ 为标准的布朗桥。 性质3 设 b 为一个实数，

${\displaystyle \mathbb{P}[\text{ there is a }t\in [0,1]\text{ s.t. }{B}_t=b]=e^{-2b^2}.}$

性质4 设 b 为一个正实数

${\displaystyle \mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{sup}|B_t|\ge b]=2\sum _{n\ge 1}(-1{)}^{n-1}{e}^{-2n^2{b}^2}.}$

性质 5 设a et b 为2个正实数.

性质6 设 x 为一个正实数

${\displaystyle \mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{sup}{B}_t-\underset{t\in [0,1]}{inf}{B}_t\ge x]=2\sum _{m\ge 1}(4m^2{x}^2-1)e^{-2m^2{x}^2}.}$

[#####]

• 布朗运动
• 维纳过程

[######]

• Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3. 
• Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3. 

[#######] 该词条纯翻译自法语版博牛词条。

查 论 编 概率论：随机过程 离散时间（英语：Discrete-time stochastic process） 伯努利过程 Branching process（英语：Branching process） 中餐馆过程 Galton–Watson process（英语：Galton–Watson process） Independent and identically distributed random variables（英语：Independent and identically distributed random variables） 马尔可夫链 Moran process（英语：Moran process） 随机游走 Loop-erased（英语：Loop-erased random walk） Self-avoiding（英语：Self-avoiding walk） 连续时间（英语：Continuous-time stochastic process） Bessel process（英语：Bessel process） 出生-死亡过程 维纳过程/布朗运动 布朗桥 Excursion（英语：Brownian excursion） Fractional（英语：Fractional Brownian motion） 几何布朗运动 Meander（英语：Brownian meander） Cauchy process（英语：Cauchy process） Contact process（英语：Contact process (mathematics)） Cox process（英语：Cox process） Diffusion process（英语：Diffusion process） Empirical process（英语：Empirical process） Feller process（英语：Feller process） Fleming–Viot process（英语：Fleming–Viot process） Gamma process（英语：Gamma process） Hunt process（英语：Hunt process） Interacting particle system（英语：Interacting particle system）s 伊藤积分 伊藤过程 Jump diffusion（英语：Jump diffusion） 跳跃过程 莱维过程 Local time（英语：Local time (mathematics)） Markov additive process（英语：Markov additive process） McKean–Vlasov process（英语：McKean–Vlasov process） Ornstein–Uhlenbeck process（英语：Ornstein–Uhlenbeck process） 泊松过程 Compound（英语：Compound Poisson process） Non-homogeneous Point process Schramm–Loewner evolution（英语：Schramm–Loewner evolution） 半鞅 Sigma-martingale（英语：Sigma-martingale） Stable process（英语：Stable process） Superprocess（英语：Superprocess） Telegraph process（英语：Telegraph process） Variance gamma process（英语：Variance gamma process） 维纳过程 Wiener sausage（英语：Wiener sausage） Both Branching process（英语：Branching process） Gaussian process（英语：Gaussian process） 隐马尔可夫模型（HMM） 马可夫过程 鞅 Differences（英语：Martingale difference sequence） Local（英语：Local martingale） Sub- Super-（英语：Super-） Random dynamical system（英语：Random dynamical system） Regenerative process（英语：Regenerative process） Renewal process（英语：Renewal process） 白噪声 Fields and other Dirichlet process（英语：Dirichlet process） Gaussian random field（英语：Gaussian random field） Gibbs measure（英语：Gibbs measure） Hopfield神经网络 易辛模型 马尔可夫网络 Percolation（英语：Percolation theory） Pitman–Yor process（英语：Pitman–Yor process） Point process（英语：Point process） Cox（英语：Point process#Cox point process） Poisson Potts model（英语：Potts model） 随机场 随机图 时间序列模型 ARCH模型 ARIMA模型 自回归模型 ARMA模型 广义ARCH模型 滑动平均模型（英语：Moving-average model） 金融模型 Black–Derman–Toy（英语：Black–Derman–Toy model） Black–Karasinski（英语：Black–Karasinski model） 布莱克-舒尔兹模型 陈模型 Constant elasticity of variance (CEV)（英语：Constant elasticity of variance model） Cox–Ingersoll–Ross (CIR)（英语：Cox–Ingersoll–Ross model） Garman–Kohlhagen（英语：Garman–Kohlhagen model） Heath–Jarrow–Morton (HJM)（英语：Heath–Jarrow–Morton framework） Heston（英语：Heston model） Ho–Lee（英语：Ho–Lee model） 赫尔怀特模型 LIBOR market（英语：LIBOR market model） SABR volatility（英语：SABR volatility model） Vašícek（英语：Vasicek model） 精算学 Bühlmann（英语：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英语：Cramér–Lundberg model） Risk process（英语：Risk process） Sparre–Anderson（英语：Sparre–Anderson model） 等候理论 Bulk（英语：Bulk queue） Fluid（英语：Fluid queue） Generalized queueing network（英语：G-network） M/G/1（英语：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英语：M/M/c queue） 性质 右连左极函数 Continuous（英语：Continuous stochastic process） Continuous paths（英语：Sample-continuous process） 遍历性 Exchangeable（英语：Exchangeable random variables） Feller-continuous（英语：Feller-continuous process） Gauss–Markov（英语：Gauss–Markov process） 马尔可夫性质 Mixing（英语：Mixing (mathematics)） Piecewise deterministic（英语：Piecewise deterministic Markov process） 可预测过程 循序可测过程 Self-similar（英语：Self-similar process） 平稳过程 Time-reversible（英语：Time reversibility） Limit theorems 中心极限定理 Donsker's theorem（英语：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英语：Doob's martingale convergence theorems） 遍历理论 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英语：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英语：Large deviation principle） 大数定律 重对数律 Maximal ergodic theorem（英语：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英语：Sanov's theorem） 不等式 Burkholder–Davis–Gundy（英语：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英语：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英语：Kunita–Watanabe inequality） 工具 Cameron–Martin formula（英语：Cameron–Martin formula） 随机变量的收敛 Doléans-Dade exponential（英语：Doléans-Dade exponential） Doob decomposition theorem（英语：Doob decomposition theorem） Doob–Meyer decomposition theorem（英语：Doob–Meyer decomposition theorem） Doob's optional stopping theorem（英语：Doob's optional stopping theorem） Dynkin's formula（英语：Dynkin's formula） 费曼－卡茨公式 右连左极函数 Girsanov theorem（英语：Girsanov theorem） Infinitesimal generator（英语：Infinitesimal generator (stochastic processes)） 伊藤积分 伊藤引理 Kolmogorov continuity theorem（英语：Kolmogorov continuity theorem） Kolmogorov extension theorem（英语：Kolmogorov extension theorem） Lévy–Prokhorov metric（英语：Lévy–Prokhorov metric） Malliavin calculus（英语：Malliavin calculus） Martingale representation theorem（英语：Martingale representation theorem） Optional stopping theorem（英语：Optional stopping theorem） Prohorov theorem（英语：Prohorov theorem） Quadratic variation（英语：Quadratic variation） Reflection principle（英语：Reflection principle (Wiener process)） Skorokhod integral（英语：Skorokhod integral） Skorokhod's representation theorem（英语：Skorokhod's representation theorem） 右连左极函数 Snell envelope（英语：Snell envelope） 随机微分方程 Tanaka（英语：Tanaka equation） 停时 随机积分 Uniform integrability（英语：Uniform integrability） Usual hypotheses（英语：Usual hypotheses） 维纳空间 Classical（英语：Classical Wiener space） Abstract Disciplines 精算学 计量经济学 遍历理论 极值理论（EVT） Large deviations theory（英语：Large deviations theory） 金融数学 数理统计学 概率论 等候理论 Renewal theory（英语：Renewal theory） Ruin theory（英语：Ruin theory） 统计学 随机分析 时间序列分析 机器学习 List of topics 分类

分类：

• 随机过程

[/micxp_threadbk]

标准布朗桥（英语：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。

非标准的 布朗桥 只是在条件 ${\displaystyle [B_{t_1}=a,B_{t_2}=b]}$下一般化的布朗桥。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 定义 和其他随机过程的关系 扩散形式下的表达 性质 相关条目 参考文献 备注 [/micxp_title] [#]

标准的布朗桥 ${\displaystyle (B_t,t\ge 0)}$为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件${\displaystyle B_0=B_1=0}$下的维纳过程 （Wiener Process）。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 ${\displaystyle (B_{t_1},...,B_{t_n})}$在条件 ${\displaystyle B_1=0}$下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：

${\displaystyle \mathrm{\forall }0\le t\le 1,\mathbb{E}[B_t|B_1=0]=0,}$

定义的备注 事件${\displaystyle [B_1=0]}$ 的概率为0。 考虑满足

的事件 ， 我们可以考察条件分布 。 由依分布收敛 可得：

这给出了布朗桥的一个严格定义。
[##] [###] 也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果 ${\displaystyle W}$ 是一种标准的布朗桥，随机方程

${\displaystyle d{X}_t=d{W}_t-\frac{X_t}{1-t}dt}$

初始条件${\displaystyle X_0=0}$的解和布朗桥同分布。 事实上, ${\displaystyle X}$是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。 [####] 设${\displaystyle (B_t,0\le t\le 1)}$ 为标准的布朗桥。 性质3 设 b 为一个实数，

${\displaystyle \mathbb{P}[\text{ there is a }t\in [0,1]\text{ s.t. }{B}_t=b]=e^{-2b^2}.}$

性质4 设 b 为一个正实数

${\displaystyle \mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{sup}|B_t|\ge b]=2\sum _{n\ge 1}(-1{)}^{n-1}{e}^{-2n^2{b}^2}.}$

性质 5 设a et b 为2个正实数.

性质6 设 x 为一个正实数

${\displaystyle \mathbb{P}[\underset{t\in [0,1]}{sup}{B}_t-\underset{t\in [0,1]}{inf}{B}_t\ge x]=2\sum _{m\ge 1}(4m^2{x}^2-1)e^{-2m^2{x}^2}.}$

[#####]

• 布朗运动
• 维纳过程

[######]

• Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering. New York: Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-00451-3. 
• Revuz, Daniel; Yor, Marc. Continuous Martingales and Brownian Motion 2nd. New York: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-57622-3. 

[#######] 该词条纯翻译自法语版博牛词条。

查 论 编 概率论：随机过程 离散时间（英语：Discrete-time stochastic process） 伯努利过程 Branching process（英语：Branching process） 中餐馆过程 Galton–Watson process（英语：Galton–Watson process） Independent and identically distributed random variables（英语：Independent and identically distributed random variables） 马尔可夫链 Moran process（英语：Moran process） 随机游走 Loop-erased（英语：Loop-erased random walk） Self-avoiding（英语：Self-avoiding walk） 连续时间（英语：Continuous-time stochastic process） Bessel process（英语：Bessel process） 出生-死亡过程 维纳过程/布朗运动 布朗桥 Excursion（英语：Brownian excursion） Fractional（英语：Fractional Brownian motion） 几何布朗运动 Meander（英语：Brownian meander） Cauchy process（英语：Cauchy process） Contact process（英语：Contact process (mathematics)） Cox process（英语：Cox process） Diffusion process（英语：Diffusion process） Empirical process（英语：Empirical process） Feller process（英语：Feller process） Fleming–Viot process（英语：Fleming–Viot process） Gamma process（英语：Gamma process） Hunt process（英语：Hunt process） Interacting particle system（英语：Interacting particle system）s 伊藤积分 伊藤过程 Jump diffusion（英语：Jump diffusion） 跳跃过程 莱维过程 Local time（英语：Local time (mathematics)） Markov additive process（英语：Markov additive process） McKean–Vlasov process（英语：McKean–Vlasov process） Ornstein–Uhlenbeck process（英语：Ornstein–Uhlenbeck process） 泊松过程 Compound（英语：Compound Poisson process） Non-homogeneous Point process Schramm–Loewner evolution（英语：Schramm–Loewner evolution） 半鞅 Sigma-martingale（英语：Sigma-martingale） Stable process（英语：Stable process） Superprocess（英语：Superprocess） Telegraph process（英语：Telegraph process） Variance gamma process（英语：Variance gamma process） 维纳过程 Wiener sausage（英语：Wiener sausage） Both Branching process（英语：Branching process） Gaussian process（英语：Gaussian process） 隐马尔可夫模型（HMM） 马可夫过程 鞅 Differences（英语：Martingale difference sequence） Local（英语：Local martingale） Sub- Super-（英语：Super-） Random dynamical system（英语：Random dynamical system） Regenerative process（英语：Regenerative process） Renewal process（英语：Renewal process） 白噪声 Fields and other Dirichlet process（英语：Dirichlet process） Gaussian random field（英语：Gaussian random field） Gibbs measure（英语：Gibbs measure） Hopfield神经网络 易辛模型 马尔可夫网络 Percolation（英语：Percolation theory） Pitman–Yor process（英语：Pitman–Yor process） Point process（英语：Point process） Cox（英语：Point process#Cox point process） Poisson Potts model（英语：Potts model） 随机场 随机图 时间序列模型 ARCH模型 ARIMA模型 自回归模型 ARMA模型 广义ARCH模型 滑动平均模型（英语：Moving-average model） 金融模型 Black–Derman–Toy（英语：Black–Derman–Toy model） Black–Karasinski（英语：Black–Karasinski model） 布莱克-舒尔兹模型 陈模型 Constant elasticity of variance (CEV)（英语：Constant elasticity of variance model） Cox–Ingersoll–Ross (CIR)（英语：Cox–Ingersoll–Ross model） Garman–Kohlhagen（英语：Garman–Kohlhagen model） Heath–Jarrow–Morton (HJM)（英语：Heath–Jarrow–Morton framework） Heston（英语：Heston model） Ho–Lee（英语：Ho–Lee model） 赫尔怀特模型 LIBOR market（英语：LIBOR market model） SABR volatility（英语：SABR volatility model） Vašícek（英语：Vasicek model） 精算学 Bühlmann（英语：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英语：Cramér–Lundberg model） Risk process（英语：Risk process） Sparre–Anderson（英语：Sparre–Anderson model） 等候理论 Bulk（英语：Bulk queue） Fluid（英语：Fluid queue） Generalized queueing network（英语：G-network） M/G/1（英语：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英语：M/M/c queue） 性质 右连左极函数 Continuous（英语：Continuous stochastic process） Continuous paths（英语：Sample-continuous process） 遍历性 Exchangeable（英语：Exchangeable random variables） Feller-continuous（英语：Feller-continuous process） Gauss–Markov（英语：Gauss–Markov process） 马尔可夫性质 Mixing（英语：Mixing (mathematics)） Piecewise deterministic（英语：Piecewise deterministic Markov process） 可预测过程 循序可测过程 Self-similar（英语：Self-similar process） 平稳过程 Time-reversible（英语：Time reversibility） Limit theorems 中心极限定理 Donsker's theorem（英语：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英语：Doob's martingale convergence theorems） 遍历理论 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英语：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英语：Large deviation principle） 大数定律 重对数律 Maximal ergodic theorem（英语：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英语：Sanov's theorem） 不等式 Burkholder–Davis–Gundy（英语：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英语：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英语：Kunita–Watanabe inequality） 工具 Cameron–Martin formula（英语：Cameron–Martin formula） 随机变量的收敛 Doléans-Dade exponential（英语：Doléans-Dade exponential） Doob decomposition theorem（英语：Doob decomposition theorem） Doob–Meyer decomposition theorem（英语：Doob–Meyer decomposition theorem） Doob's optional stopping theorem（英语：Doob's optional stopping theorem） Dynkin's formula（英语：Dynkin's formula） 费曼－卡茨公式 右连左极函数 Girsanov theorem（英语：Girsanov theorem） Infinitesimal generator（英语：Infinitesimal generator (stochastic processes)） 伊藤积分 伊藤引理 Kolmogorov continuity theorem（英语：Kolmogorov continuity theorem） Kolmogorov extension theorem（英语：Kolmogorov extension theorem） Lévy–Prokhorov metric（英语：Lévy–Prokhorov metric） Malliavin calculus（英语：Malliavin calculus） Martingale representation theorem（英语：Martingale representation theorem） Optional stopping theorem（英语：Optional stopping theorem） Prohorov theorem（英语：Prohorov theorem） Quadratic variation（英语：Quadratic variation） Reflection principle（英语：Reflection principle (Wiener process)） Skorokhod integral（英语：Skorokhod integral） Skorokhod's representation theorem（英语：Skorokhod's representation theorem） 右连左极函数 Snell envelope（英语：Snell envelope） 随机微分方程 Tanaka（英语：Tanaka equation） 停时 随机积分 Uniform integrability（英语：Uniform integrability） Usual hypotheses（英语：Usual hypotheses） 维纳空间 Classical（英语：Classical Wiener space） Abstract Disciplines 精算学 计量经济学 遍历理论 极值理论（EVT） Large deviations theory（英语：Large deviations theory） 金融数学 数理统计学 概率论 等候理论 Renewal theory（英语：Renewal theory） Ruin theory（英语：Ruin theory） 统计学 随机分析 时间序列分析 机器学习 List of topics 分类

分类：

• 随机过程

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