芝诺悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)(盛年约在公元前464-前461)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是:“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分(无限)的概念解释。
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两分法悖论
阿基里斯悖论
飞矢不动悖论
游行队伍悖论
芝诺现象
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主条目:两分法悖论
运动是不可能的。
由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点,若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点,于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。
这里的“运动”不是距离的概念,而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离,并且涉及到时间。从A到B的运动如果发生在无限长的时间内,那么悖论就为真,因为此时速度为0。
速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间,但是速度是一个自然界的固有概念,并不依赖于时间和距离。所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述,而不是悖论。
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“
动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点,此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。
”
——亚里士多德,物理学 VI:9, 239b15
如柏拉图描述,芝诺说这样的悖论,是兴之所至的小玩笑。首先,巴门尼德编出这个悖论,用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999..., 1-0.999...>0”思想。然后,他又用这个悖论,嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999..., 但1-0.999...>0”思想。最后,芝诺用这个悖论,反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0, 或1-0.999...>0”思想。
譬如说,阿基里斯速度是10m/s,乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题:。而极限是个无限过程,这涉及到潜无限问题,即无限过程无法完成,即1只能无限逼近,不能达到1,乌龟是不能被追上的。为此,潜无限只能假设空间不可以无限分割,这样悖论就不存在了。但实无限认为,无限过程可以完成,即极限可以达到1,乌龟可以追上。现在的实数,极限,微积分都建立在实无限上。对潜无限来说,实数,极限等都不成立,只能无限逼近。
P.S.目前数学界有"0.9999999999.......=1"之证明如下
pf: 令 S=0.99999999999.......--❶
則10S=9.9999999999.......--❷
❷-❶ 10S-S=9.9999999999...........-0.999999999..........
9S=9
S=1
故得証0.9999999.........=1
悖论的解决
理论说得令人头头是道,但为何实际却不是如此? 原因见下。
不妨令阿基里斯步行的速度为每秒10m, 乌龟爬行的速度为每秒0.1m, 并且在比赛之前, 阿基里斯让乌龟先爬999m, 在这种条件下, 阿基里斯追赶乌龟所用的时间为:
999 ÷ 10 = 99.9秒
(99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
(0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
· · · · · ·
这些数字, 按其先后排列, 可以构成一个无限序列:
99.9, 0.999, 0.00999, · · ·
其和為:S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒
所以其实阿基里斯只要跑101秒,即可超越乌龟。换个角度说,阿基里斯之所以追不上乌龟,原因在题目的背面已经限制了阿基米斯追赶的时间。
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主条目:飞矢不动
一支飞行的箭是静止的。
由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的,因此箭就不能处于运动状态。
但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能,所以箭必须是运动状态
这个悖论的问题在于,“飞行”的运动,是依赖于两个时间点的。即从这一刻到那一刻的时间内,这支箭是否移动。
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首先假设在操场上,在一瞬间(一个最小时间单位)里,相对于观众席A,列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。
AAAA 观众席A
BBBB 队列B・・・向右移动(→)
CCCC 队列C・・・向左移动(←)
B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。
AAAA
BBBB
CCCC
而此时,对B而言C移动了两个距离单位。也就是,队列既可以在一瞬间(一个最小时间单位)里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。
(四个悖论的叙述引自K.克莱茵(K.Klein)《古今数学思想》中译本,BillSmith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。)
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在一个跟时间有关的系统中,如果牵涉到有限时间内,无限多次的操作,我们会称之芝诺现象或芝诺行为。一个简单的例子是球在地面上反弹到停止的过程。处理这个问题的方法,是直接假设停止的时间点,只考虑反弹,不去考虑无穷多次,以计算无穷多次反弹之后的结果。
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