1 + 1 + 1 + 1 + …，亦写作 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^0}$, ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{1}^n}$或${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}1}$，是一个发散级数，表示其部分和形成的数列不会收敛。数列1n可以视为公比为1的等比级数。不同于其他公比为有理数的等比级数，此级数不但在实数下不收敛，在某些特定数字p的p进数下也不收敛。若在扩展的实数轴中，因为部分和形成的数列单调递增且没有上界，因此级数的值如下

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}1=+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},}$

此发散级数无法用切萨罗求和及阿贝尔和的求和法求和。

当出现于物理运用时，它也解释为ζ函数正规化（英语：Zeta function regularization），它是黎曼ζ函数在零点的取值。

${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-<!--\; -\; -->2^{1-<!--\; -\; -->s}}\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}}{n^s},}$

上述二个公式在${\displaystyle s=0}$时不成立，必需利用解析连续定义。

${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)=2^s{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{s-<!--\; -\; -->1}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{2}\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->s)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(1-<!--\; -\; -->s),}$

用上式求得（假设${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1)=1}$）

${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(0)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{s\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{2}\right)\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(1-<!--\; -\; -->s)=\frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\underset{s\to <!--\; \to \; -->0}{lim}(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}s}{2}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^3{s}^3}{48}+...)(-<!--\; -\; -->\frac{1}{s}+...)=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}}$

以下ζ(s)在s = 1时的级数展开：也是这种意义下此级数的和：

1 + 1 + 1 + 1 + · · · = ζ(0) = −1⁄2[2]

也可用其他的s值来为其他的级数求和，例如ζ(-1)=1 + 2 + 3 + 4 + ⋯=–1/12，ζ(-2)=1 + 4 + 9 + ... = 0，其通式为

${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(-<!--\; -\; -->s)=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{n}^s=1^s+2^s+3^s+\dots <!--\; \dots \; -->=-<!--\; -\; -->\frac{B_{s+1}}{s+1}}$

其中Bk为伯努利数[3]。

在同一年内，有两位杰出的物理学家斯拉夫诺夫（A. Slavnov）和F. Yndurain 分别在巴塞罗那作了学术演讲。两场学术演讲的主题不同，但是在这两个人的介绍当中，都说到了一句令观众非常难忘的话：“各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = −1⁄2”，某程度意味着“如果观众不知道这个，那么继续听下去是没有意义的。” [4]

有看没有懂 ... “如果观众不知道这个，那么继续听下去是没有意义的。”:L

我想说这个比高数要复杂的多啊，之前高数老师一道题能写一黑板就是一步一步的讲的，还能听懂，你写的这完全看不懂