在概率论及统计学中，马尔可夫过程（英语：Markov process）是一个具备了马尔可夫性质的随机过程，因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名。马尔可夫过程是不具备记忆特质的（memorylessness）。换言之，马尔可夫过程的条件概率仅仅与系统的当前状态相关，而与它的过去历史或未来状态，都是独立、不相关的[1]。

具备离散状态的马尔可夫过程，通常被称为马尔可夫链。马尔可夫链通常使用离散的时间集合定义，又称离散时间马尔可夫链[2]。有些学者虽然采用这个术语，但允许时间可以取连续的值[3][4]。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 概论 数学模型 马尔可夫性质 注释 相关条目 [/micxp_title] [#]

	可数或有限的状态空间	连续或一般的状态空间
离散时间	在可数且有限状态空间下的马尔可夫链	Harris chain (在一般状态空间下的马尔可夫链)
连续时间	Continuous-time Markov process	任何具备马尔可夫性质的连续随机过程，例如维纳过程

[##] 主条目：马尔可夫性质 对于某些类型的随机过程，很容易通过状态定义列方程推导出是否具有马尔可夫性质，但对于另外一些，需要使用马尔可夫性质中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子，设某个随机过程他的状态X可取到一个离散集合中的值，该值随时间t变化，可将该值表示为X(t)。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,p2, p1), 任何“当前时间”s, 以及任何“未来时间” t, 同时所有这些时间全都在X的取值范围之内，若有

则马尔可夫性质成立, 并且该过程为马尔可夫过程, 如果式

${\displaystyle Pr[X(t)=x(t)\mid X(s)=x(s),X(p_1)=x(p_1),X(p_2)=x(p_2),\dots ]}$

${\displaystyle =Pr[X(t)=x(t)\mid X(s)=x(s)]}$

对于所有的取值( ... ,x(p2), x(p1), x(s), x(t) ), 以及所有的时间集合成立。 则可用条件概率计算得出

${\displaystyle Pr[X(t)=x(t)\mid X(s)=x(s),X(p_1)=x(p_1),X(p_2)=x(p_2),\dots ]}$

与任何过去的取值( ... ,x(p2), x(p1) )不相关，这恰好就是所谓的未来的状态与任何历史的状态无关，仅与当前状态相关。 [###] 马尔可夫性质是概率论中的一个概念。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态；换句话说，在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是条件独立的，那么此随机过程即具有马尔可夫性质。具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔可夫过程。 数学上，如果${\displaystyle X(t),t>0}$为一个随机过程，则马尔可夫性质就是指

${\displaystyle \mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)=y|X(s)=x(s),s\le t]=\mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)=y|X(t)=x(t)],\mathrm{\forall }h>0.}$

马尔可夫过程通常称其为（时间）齐次，如果满足

${\displaystyle \mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)=y|X(t)=x(t)]=\mathrm{P}\mathrm{r}[X(h)=y|X(0)=x(0)],\mathrm{\forall }t,h>0,}$

除此之外则被称为是（时间）非齐次的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单，构成了最重要的一类马尔可夫过程。 某些情况下，明显的非马尔可夫过程也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设${\displaystyle X}$为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程${\displaystyle Y}$，使得每一个${\displaystyle Y}$的状态表示${\displaystyle X}$的一个时间区间上的状态，用数学方法来表示，即，

${\displaystyle Y(t)=\{X(s):s\in [a(t),b(t)]\}.}$

如果${\displaystyle Y}$具有马尔可夫性质，则它就是${\displaystyle X}$的一个马尔可夫表示。 在这个情况下，${\displaystyle X}$也可以被称为是二阶马尔可夫过程。更高阶马尔可夫过程也可类似地来定义。 具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子，例如有移动平均时间序列。 最有名的马尔可夫过程为马尔可夫链，但不少其他的过程，包括布朗运动也是马尔可夫过程。 [####]

1. ^ Markov process (mathematics) - Britannica Online Encyclopedia
2. ^ Everitt,B.S. (2002) The Cambridge Dictionary of Statistics. CUP. ISBN 0-521-81099-x
3. ^ Dodge, Y. The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9
4. ^ 参见en:continuous-time Markov process

[#####]

• 马尔可夫链

查 论 编 概率论：随机过程 离散时间（英语：Discrete-time stochastic process） 伯努利过程 Branching process（英语：Branching process） 中餐馆过程 Galton–Watson process（英语：Galton–Watson process） Independent and identically distributed random variables（英语：Independent and identically distributed random variables） 马尔可夫链 Moran process（英语：Moran process） 随机游走 Loop-erased（英语：Loop-erased random walk） Self-avoiding（英语：Self-avoiding walk） 连续时间（英语：Continuous-time stochastic process） Bessel process（英语：Bessel process） 出生-死亡过程 维纳过程/布朗运动 布朗桥 Excursion（英语：Brownian excursion） Fractional（英语：Fractional Brownian motion） 几何布朗运动 Meander（英语：Brownian meander） Cauchy process（英语：Cauchy process） Contact process（英语：Contact process (mathematics)） Cox process（英语：Cox process） Diffusion process（英语：Diffusion process） Empirical process（英语：Empirical process） Feller process（英语：Feller process） Fleming–Viot process（英语：Fleming–Viot process） Gamma process（英语：Gamma process） Hunt process（英语：Hunt process） Interacting particle system（英语：Interacting particle system）s 伊藤积分 伊藤过程 Jump diffusion（英语：Jump diffusion） 跳跃过程 莱维过程 Local time（英语：Local time (mathematics)） Markov additive process（英语：Markov additive process） McKean–Vlasov process（英语：McKean–Vlasov process） Ornstein–Uhlenbeck process（英语：Ornstein–Uhlenbeck process） 泊松过程 Compound（英语：Compound Poisson process） Non-homogeneous Point process Schramm–Loewner evolution（英语：Schramm–Loewner evolution） 半鞅 Sigma-martingale（英语：Sigma-martingale） Stable process（英语：Stable process） Superprocess（英语：Superprocess） Telegraph process（英语：Telegraph process） Variance gamma process（英语：Variance gamma process） 维纳过程 Wiener sausage（英语：Wiener sausage） Both Branching process（英语：Branching process） Gaussian process（英语：Gaussian process） 隐马尔可夫模型（HMM） 马尔可夫过程 鞅 Differences（英语：Martingale difference sequence） Local（英语：Local martingale） Sub- Super-（英语：Super-） Random dynamical system（英语：Random dynamical system） Regenerative process（英语：Regenerative process） Renewal process（英语：Renewal process） 白噪声 Fields and other Dirichlet process（英语：Dirichlet process） Gaussian random field（英语：Gaussian random field） Gibbs measure（英语：Gibbs measure） Hopfield神经网络 易辛模型 马尔可夫网络 Percolation（英语：Percolation theory） Pitman–Yor process（英语：Pitman–Yor process） Point process（英语：Point process） Cox（英语：Point process#Cox point process） Poisson Potts model（英语：Potts model） 随机场 随机图 时间序列模型 ARCH模型 ARIMA模型 自回归模型 ARMA模型 广义ARCH模型 滑动平均模型（英语：Moving-average model） 金融模型 Black–Derman–Toy（英语：Black–Derman–Toy model） Black–Karasinski（英语：Black–Karasinski model） 布莱克-舒尔兹模型 陈模型 Constant elasticity of variance (CEV)（英语：Constant elasticity of variance model） Cox–Ingersoll–Ross (CIR)（英语：Cox–Ingersoll–Ross model） Garman–Kohlhagen（英语：Garman–Kohlhagen model） Heath–Jarrow–Morton (HJM)（英语：Heath–Jarrow–Morton framework） Heston（英语：Heston model） Ho–Lee（英语：Ho–Lee model） 赫尔怀特模型 LIBOR market（英语：LIBOR market model） SABR volatility（英语：SABR volatility model） Vašícek（英语：Vasicek model） 精算学 Bühlmann（英语：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英语：Cramér–Lundberg model） Risk process（英语：Risk process） Sparre–Anderson（英语：Sparre–Anderson model） 等候理论 Bulk（英语：Bulk queue） Fluid（英语：Fluid queue） Generalized queueing network（英语：G-network） M/G/1（英语：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英语：M/M/c queue） 性质 右连左极函数 Continuous（英语：Continuous stochastic process） Continuous paths（英语：Sample-continuous process） 遍历性 Exchangeable（英语：Exchangeable random variables） Feller-continuous（英语：Feller-continuous process） Gauss–Markov（英语：Gauss–Markov process） 马尔可夫性质 Mixing（英语：Mixing (mathematics)） Piecewise deterministic（英语：Piecewise deterministic Markov process） 可预测过程 循序可测过程 Self-similar（英语：Self-similar process） 平稳过程 Time-reversible（英语：Time reversibility） Limit theorems 中心极限定理 Donsker's theorem（英语：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英语：Doob's martingale convergence theorems） 遍历理论 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英语：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英语：Large deviation principle） 大数定律 重对数律 Maximal ergodic theorem（英语：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英语：Sanov's theorem） 不等式 Burkholder–Davis–Gundy（英语：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英语：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英语：Kunita–Watanabe inequality） 工具 Cameron–Martin formula（英语：Cameron–Martin formula） 随机变量的收敛 Doléans-Dade exponential（英语：Doléans-Dade exponential） Doob decomposition theorem（英语：Doob decomposition theorem） Doob–Meyer decomposition theorem（英语：Doob–Meyer decomposition theorem） Doob's optional stopping theorem（英语：Doob's optional stopping theorem） Dynkin's formula（英语：Dynkin's formula） 费曼－卡茨公式 右连左极函数 Girsanov theorem（英语：Girsanov theorem） Infinitesimal generator（英语：Infinitesimal generator (stochastic processes)） 伊藤积分 伊藤引理 Kolmogorov continuity theorem（英语：Kolmogorov continuity theorem） Kolmogorov extension theorem（英语：Kolmogorov extension theorem） Lévy–Prokhorov metric（英语：Lévy–Prokhorov metric） Malliavin calculus（英语：Malliavin calculus） Martingale representation theorem（英语：Martingale representation theorem） Optional stopping theorem（英语：Optional stopping theorem） Prohorov theorem（英语：Prohorov theorem） Quadratic variation（英语：Quadratic variation） Reflection principle（英语：Reflection principle (Wiener process)） Skorokhod integral（英语：Skorokhod integral） Skorokhod's representation theorem（英语：Skorokhod's representation theorem） 右连左极函数 Snell envelope（英语：Snell envelope） 随机微分方程 Tanaka（英语：Tanaka equation） 停时 随机积分 Uniform integrability（英语：Uniform integrability） Usual hypotheses（英语：Usual hypotheses） 维纳空间 Classical（英语：Classical Wiener space） Abstract Disciplines 精算学 计量经济学 遍历理论 极值理论（EVT） Large deviations theory（英语：Large deviations theory） 金融数学 数理统计学 概率论 等候理论 Renewal theory（英语：Renewal theory） Ruin theory（英语：Ruin theory） 统计学 随机分析 时间序列分析 机器学习 List of topics 分类

规范控制 NDL: 00567494

分类：

• 随机过程

隐藏分类：

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在概率论及统计学中，马尔可夫过程（英语：Markov process）是一个具备了马尔可夫性质的随机过程，因为俄国数学家安德雷·马尔可夫得名。马尔可夫过程是不具备记忆特质的（memorylessness）。换言之，马尔可夫过程的条件概率仅仅与系统的当前状态相关，而与它的过去历史或未来状态，都是独立、不相关的[1]。

具备离散状态的马尔可夫过程，通常被称为马尔可夫链。马尔可夫链通常使用离散的时间集合定义，又称离散时间马尔可夫链[2]。有些学者虽然采用这个术语，但允许时间可以取连续的值[3][4]。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 概论 数学模型 马尔可夫性质 注释 相关条目 [/micxp_title] [#]

	可数或有限的状态空间	连续或一般的状态空间
离散时间	在可数且有限状态空间下的马尔可夫链	Harris chain (在一般状态空间下的马尔可夫链)
连续时间	Continuous-time Markov process	任何具备马尔可夫性质的连续随机过程，例如维纳过程

[##] 主条目：马尔可夫性质 对于某些类型的随机过程，很容易通过状态定义列方程推导出是否具有马尔可夫性质，但对于另外一些，需要使用马尔可夫性质中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子，设某个随机过程他的状态X可取到一个离散集合中的值，该值随时间t变化，可将该值表示为X(t)。在这里，时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,p2, p1), 任何“当前时间”s, 以及任何“未来时间” t, 同时所有这些时间全都在X的取值范围之内，若有

则马尔可夫性质成立, 并且该过程为马尔可夫过程, 如果式

${\displaystyle Pr[X(t)=x(t)\mid X(s)=x(s),X(p_1)=x(p_1),X(p_2)=x(p_2),\dots ]}$

${\displaystyle =Pr[X(t)=x(t)\mid X(s)=x(s)]}$

对于所有的取值( ... ,x(p2), x(p1), x(s), x(t) ), 以及所有的时间集合成立。 则可用条件概率计算得出

${\displaystyle Pr[X(t)=x(t)\mid X(s)=x(s),X(p_1)=x(p_1),X(p_2)=x(p_2),\dots ]}$

与任何过去的取值( ... ,x(p2), x(p1) )不相关，这恰好就是所谓的未来的状态与任何历史的状态无关，仅与当前状态相关。 [###] 马尔可夫性质是概率论中的一个概念。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态；换句话说，在给定现在状态时，它与过去状态（即该过程的历史路径）是条件独立的，那么此随机过程即具有马尔可夫性质。具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔可夫过程。 数学上，如果${\displaystyle X(t),t>0}$为一个随机过程，则马尔可夫性质就是指

${\displaystyle \mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)=y|X(s)=x(s),s\le t]=\mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)=y|X(t)=x(t)],\mathrm{\forall }h>0.}$

马尔可夫过程通常称其为（时间）齐次，如果满足

${\displaystyle \mathrm{P}\mathrm{r}[X(t+h)=y|X(t)=x(t)]=\mathrm{P}\mathrm{r}[X(h)=y|X(0)=x(0)],\mathrm{\forall }t,h>0,}$

除此之外则被称为是（时间）非齐次的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单，构成了最重要的一类马尔可夫过程。 某些情况下，明显的非马尔可夫过程也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设${\displaystyle X}$为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程${\displaystyle Y}$，使得每一个${\displaystyle Y}$的状态表示${\displaystyle X}$的一个时间区间上的状态，用数学方法来表示，即，

${\displaystyle Y(t)=\{X(s):s\in [a(t),b(t)]\}.}$

如果${\displaystyle Y}$具有马尔可夫性质，则它就是${\displaystyle X}$的一个马尔可夫表示。 在这个情况下，${\displaystyle X}$也可以被称为是二阶马尔可夫过程。更高阶马尔可夫过程也可类似地来定义。 具有马尔可夫表示的非马尔可夫过程的例子，例如有移动平均时间序列。 最有名的马尔可夫过程为马尔可夫链，但不少其他的过程，包括布朗运动也是马尔可夫过程。 [####]

1. ^ Markov process (mathematics) - Britannica Online Encyclopedia
2. ^ Everitt,B.S. (2002) The Cambridge Dictionary of Statistics. CUP. ISBN 0-521-81099-x
3. ^ Dodge, Y. The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9
4. ^ 参见en:continuous-time Markov process

[#####]

• 马尔可夫链

查 论 编 概率论：随机过程 离散时间（英语：Discrete-time stochastic process） 伯努利过程 Branching process（英语：Branching process） 中餐馆过程 Galton–Watson process（英语：Galton–Watson process） Independent and identically distributed random variables（英语：Independent and identically distributed random variables） 马尔可夫链 Moran process（英语：Moran process） 随机游走 Loop-erased（英语：Loop-erased random walk） Self-avoiding（英语：Self-avoiding walk） 连续时间（英语：Continuous-time stochastic process） Bessel process（英语：Bessel process） 出生-死亡过程 维纳过程/布朗运动 布朗桥 Excursion（英语：Brownian excursion） Fractional（英语：Fractional Brownian motion） 几何布朗运动 Meander（英语：Brownian meander） Cauchy process（英语：Cauchy process） Contact process（英语：Contact process (mathematics)） Cox process（英语：Cox process） Diffusion process（英语：Diffusion process） Empirical process（英语：Empirical process） Feller process（英语：Feller process） Fleming–Viot process（英语：Fleming–Viot process） Gamma process（英语：Gamma process） Hunt process（英语：Hunt process） Interacting particle system（英语：Interacting particle system）s 伊藤积分 伊藤过程 Jump diffusion（英语：Jump diffusion） 跳跃过程 莱维过程 Local time（英语：Local time (mathematics)） Markov additive process（英语：Markov additive process） McKean–Vlasov process（英语：McKean–Vlasov process） Ornstein–Uhlenbeck process（英语：Ornstein–Uhlenbeck process） 泊松过程 Compound（英语：Compound Poisson process） Non-homogeneous Point process Schramm–Loewner evolution（英语：Schramm–Loewner evolution） 半鞅 Sigma-martingale（英语：Sigma-martingale） Stable process（英语：Stable process） Superprocess（英语：Superprocess） Telegraph process（英语：Telegraph process） Variance gamma process（英语：Variance gamma process） 维纳过程 Wiener sausage（英语：Wiener sausage） Both Branching process（英语：Branching process） Gaussian process（英语：Gaussian process） 隐马尔可夫模型（HMM） 马尔可夫过程 鞅 Differences（英语：Martingale difference sequence） Local（英语：Local martingale） Sub- Super-（英语：Super-） Random dynamical system（英语：Random dynamical system） Regenerative process（英语：Regenerative process） Renewal process（英语：Renewal process） 白噪声 Fields and other Dirichlet process（英语：Dirichlet process） Gaussian random field（英语：Gaussian random field） Gibbs measure（英语：Gibbs measure） Hopfield神经网络 易辛模型 马尔可夫网络 Percolation（英语：Percolation theory） Pitman–Yor process（英语：Pitman–Yor process） Point process（英语：Point process） Cox（英语：Point process#Cox point process） Poisson Potts model（英语：Potts model） 随机场 随机图 时间序列模型 ARCH模型 ARIMA模型 自回归模型 ARMA模型 广义ARCH模型 滑动平均模型（英语：Moving-average model） 金融模型 Black–Derman–Toy（英语：Black–Derman–Toy model） Black–Karasinski（英语：Black–Karasinski model） 布莱克-舒尔兹模型 陈模型 Constant elasticity of variance (CEV)（英语：Constant elasticity of variance model） Cox–Ingersoll–Ross (CIR)（英语：Cox–Ingersoll–Ross model） Garman–Kohlhagen（英语：Garman–Kohlhagen model） Heath–Jarrow–Morton (HJM)（英语：Heath–Jarrow–Morton framework） Heston（英语：Heston model） Ho–Lee（英语：Ho–Lee model） 赫尔怀特模型 LIBOR market（英语：LIBOR market model） SABR volatility（英语：SABR volatility model） Vašícek（英语：Vasicek model） 精算学 Bühlmann（英语：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英语：Cramér–Lundberg model） Risk process（英语：Risk process） Sparre–Anderson（英语：Sparre–Anderson model） 等候理论 Bulk（英语：Bulk queue） Fluid（英语：Fluid queue） Generalized queueing network（英语：G-network） M/G/1（英语：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英语：M/M/c queue） 性质 右连左极函数 Continuous（英语：Continuous stochastic process） Continuous paths（英语：Sample-continuous process） 遍历性 Exchangeable（英语：Exchangeable random variables） Feller-continuous（英语：Feller-continuous process） Gauss–Markov（英语：Gauss–Markov process） 马尔可夫性质 Mixing（英语：Mixing (mathematics)） Piecewise deterministic（英语：Piecewise deterministic Markov process） 可预测过程 循序可测过程 Self-similar（英语：Self-similar process） 平稳过程 Time-reversible（英语：Time reversibility） Limit theorems 中心极限定理 Donsker's theorem（英语：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英语：Doob's martingale convergence theorems） 遍历理论 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英语：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英语：Large deviation principle） 大数定律 重对数律 Maximal ergodic theorem（英语：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英语：Sanov's theorem） 不等式 Burkholder–Davis–Gundy（英语：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英语：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英语：Kunita–Watanabe inequality） 工具 Cameron–Martin formula（英语：Cameron–Martin formula） 随机变量的收敛 Doléans-Dade exponential（英语：Doléans-Dade exponential） Doob decomposition theorem（英语：Doob decomposition theorem） Doob–Meyer decomposition theorem（英语：Doob–Meyer decomposition theorem） Doob's optional stopping theorem（英语：Doob's optional stopping theorem） Dynkin's formula（英语：Dynkin's formula） 费曼－卡茨公式 右连左极函数 Girsanov theorem（英语：Girsanov theorem） Infinitesimal generator（英语：Infinitesimal generator (stochastic processes)） 伊藤积分 伊藤引理 Kolmogorov continuity theorem（英语：Kolmogorov continuity theorem） Kolmogorov extension theorem（英语：Kolmogorov extension theorem） Lévy–Prokhorov metric（英语：Lévy–Prokhorov metric） Malliavin calculus（英语：Malliavin calculus） Martingale representation theorem（英语：Martingale representation theorem） Optional stopping theorem（英语：Optional stopping theorem） Prohorov theorem（英语：Prohorov theorem） Quadratic variation（英语：Quadratic variation） Reflection principle（英语：Reflection principle (Wiener process)） Skorokhod integral（英语：Skorokhod integral） Skorokhod's representation theorem（英语：Skorokhod's representation theorem） 右连左极函数 Snell envelope（英语：Snell envelope） 随机微分方程 Tanaka（英语：Tanaka equation） 停时 随机积分 Uniform integrability（英语：Uniform integrability） Usual hypotheses（英语：Usual hypotheses） 维纳空间 Classical（英语：Classical Wiener space） Abstract Disciplines 精算学 计量经济学 遍历理论 极值理论（EVT） Large deviations theory（英语：Large deviations theory） 金融数学 数理统计学 概率论 等候理论 Renewal theory（英语：Renewal theory） Ruin theory（英语：Ruin theory） 统计学 随机分析 时间序列分析 机器学习 List of topics 分类

规范控制 NDL: 00567494

分类：

• 随机过程

隐藏分类：

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