给定样本空间${\displaystyle (S,\mathbb{F})}$，如果其上的实值函数 ${\displaystyle X:S\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$是${\displaystyle \mathbb{F}}$ (实值)可测函数，则称${\displaystyle X}$为（实值）随机变量。初等概率论中通常不涉及到可测性的概念，而直接把任何${\displaystyle X:S\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$的函数称为随机变量。

如果${\displaystyle X}$指定给概率空间${\displaystyle S}$中每一个事件${\displaystyle e}$有一个实数${\displaystyle X(e)}$，同时针对每一个实数${\displaystyle r}$都有一个事件集合${\displaystyle A_r}$与其相对应，其中${\displaystyle A_r=}$ {${\displaystyle e:X(e)}$ ≤ ${\displaystyle r}$}，那么${\displaystyle X}$被称作随机变量。随机变量一般用大写拉丁字母或小写希腊字母（比如${\displaystyle X,Y,Z,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$）来表示，从上面的定义注意到，随机变量实质上是函数，不能把它的定义与变量的定义相混淆，另外概率函数${\displaystyle P}$并没有在考虑之中。

实数坐标轴上的随机变量示意图

例如，随机掷两个骰子，整个事件空间可以由36个元素组成：

${\displaystyle S=\{(i,j)|i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,6,;j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,6\}}$

这里可以构成多个随机变量，比如随机变量${\displaystyle X}$（获得的两个骰子的点数和）或者随机变量${\displaystyle Y}$（获得的两个骰子的点数差），随机变量${\displaystyle X}$可以有11个整数值，而随机变量${\displaystyle Y}$只有6个。

${\displaystyle X(i,j):=i+j,x=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,12}$${\displaystyle Y(i,j):=\mid <!--\; \mid \; -->i-<!--\; -\; -->j\mid <!--\; \mid \; -->,y=0,1,2,3,4,5.}$

又比如，在一次扔硬币事件中，如果把获得的背面的次数作为随机变量${\displaystyle X}$，则${\displaystyle X}$可以取两个值，分别是0和1。

如果随机变量${\displaystyle X}$的取值是有限的或者是可数无穷尽的值

${\displaystyle X=\{x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->,\}}$,

则称${\displaystyle X}$为离散随机变量。如果${\displaystyle X}$由全部实数或者由一部分区间组成，

${\displaystyle X=\{x|a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b\}}$,

则称${\displaystyle X}$为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 性质 基本类型 详细分析 研究方法 随机变量的函数 参见 [/micxp_title] [#] [##] 简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。 按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型： 1.离散型随机变量: 即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。 2.连续型随机变量: 即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。 [###] [####] 在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。因此，随机变量取某个数值或落入某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。根据这样的直观想法，利用概率论公理化的语言，取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下：概率空间(Ω,F,p)上的随机变量x是定义于Ω上的实值可测函数，即对任意ω∈Ω，x(ω)为实数，且对任意实数x，使x(ω)≤x的一切ω组成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。事件{ω:x(ω)≤x}常简记作{x≤x}，并称函数F(x)=p(x≤x)，-∞ g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 来产生一个随机变量X. Y的累积分布函数是：

${\displaystyle F_Y(y)=\mathrm{P}(g(X)\le y).}$

如果波莱尔函数可逆：

得到它的概率密度函数：

${\displaystyle f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d{g}^{-1}(y)}{dy}\right|.}$

[######]

• 概率论
• 随机分布
• 随机性
• 随机向量
• 随机函数
• 生成函数
• 算法信息论
• 随机变量的收敛

分类：

• 随机
• 概率与统计
• 概率论

[/micxp_threadbk]

给定样本空间${\displaystyle (S,\mathbb{F})}$，如果其上的实值函数 ${\displaystyle X:S\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$是${\displaystyle \mathbb{F}}$ (实值)可测函数，则称${\displaystyle X}$为（实值）随机变量。初等概率论中通常不涉及到可测性的概念，而直接把任何${\displaystyle X:S\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}}$的函数称为随机变量。

如果${\displaystyle X}$指定给概率空间${\displaystyle S}$中每一个事件${\displaystyle e}$有一个实数${\displaystyle X(e)}$，同时针对每一个实数${\displaystyle r}$都有一个事件集合${\displaystyle A_r}$与其相对应，其中${\displaystyle A_r=}$ {${\displaystyle e:X(e)}$ ≤ ${\displaystyle r}$}，那么${\displaystyle X}$被称作随机变量。随机变量一般用大写拉丁字母或小写希腊字母（比如${\displaystyle X,Y,Z,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$）来表示，从上面的定义注意到，随机变量实质上是函数，不能把它的定义与变量的定义相混淆，另外概率函数${\displaystyle P}$并没有在考虑之中。

实数坐标轴上的随机变量示意图

例如，随机掷两个骰子，整个事件空间可以由36个元素组成：

${\displaystyle S=\{(i,j)|i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,6,;j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,6\}}$

这里可以构成多个随机变量，比如随机变量${\displaystyle X}$（获得的两个骰子的点数和）或者随机变量${\displaystyle Y}$（获得的两个骰子的点数差），随机变量${\displaystyle X}$可以有11个整数值，而随机变量${\displaystyle Y}$只有6个。

${\displaystyle X(i,j):=i+j,x=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->,12}$${\displaystyle Y(i,j):=\mid <!--\; \mid \; -->i-<!--\; -\; -->j\mid <!--\; \mid \; -->,y=0,1,2,3,4,5.}$

又比如，在一次扔硬币事件中，如果把获得的背面的次数作为随机变量${\displaystyle X}$，则${\displaystyle X}$可以取两个值，分别是0和1。

如果随机变量${\displaystyle X}$的取值是有限的或者是可数无穷尽的值

${\displaystyle X=\{x_1,x_2,x_3,\dots <!--\; \dots \; -->,\}}$,

则称${\displaystyle X}$为离散随机变量。如果${\displaystyle X}$由全部实数或者由一部分区间组成，

${\displaystyle X=\{x|a\le <!--\; \le \; -->x\le <!--\; \le \; -->b\}}$,

则称${\displaystyle X}$为连续随机变量，连续随机变量的值是不可数及无穷尽的。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 性质 基本类型 详细分析 研究方法 随机变量的函数 参见 [/micxp_title] [#] [##] 简单地说，随机变量是指随机事件的数量表现。例如一批注入某种毒物的动物，在一定时间内死亡的只数；某地若干名男性健康成人中，每人血红蛋白量的测定值；等等。另有一些现象并不直接表现为数量，例如人口的男女性别、试验结果的阳性或阴性等，但我们可以规定男性为1，女性为0，则非数量标志也可以用数量来表示。这些例子中所提到的量，尽管它们的具体内容是各式各样的，但从数学观点来看，它们表现了同一种情况，这就是每个变量都可以随机地取得不同的数值，而在进行试验或测量之前，我们要预言这个变量将取得某个确定的数值是不可能的。 按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型： 1.离散型随机变量: 即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。 2.连续型随机变量: 即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。 [###] [####] 在研究随机变量的性质时，确定和计算它取某个数值或落入某个数值区间内的概率是特别重要的。因此，随机变量取某个数值或落入某个数值区间这样的基本事件的集合，应当属于所考虑的事件域。根据这样的直观想法，利用概率论公理化的语言，取实数值的随机变量的数学定义可确切地表述如下：概率空间(Ω,F,p)上的随机变量x是定义于Ω上的实值可测函数，即对任意ω∈Ω，x(ω)为实数，且对任意实数x，使x(ω)≤x的一切ω组成的Ω的子集{ω:x(ω)≤x}是事件，也即是F中的元素。事件{ω:x(ω)≤x}常简记作{x≤x}，并称函数F(x)=p(x≤x)，-∞ g : R → R {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } 来产生一个随机变量X. Y的累积分布函数是：

${\displaystyle F_Y(y)=\mathrm{P}(g(X)\le y).}$

如果波莱尔函数可逆：

得到它的概率密度函数：

${\displaystyle f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d{g}^{-1}(y)}{dy}\right|.}$

[######]

• 概率论
• 随机分布
• 随机性
• 随机向量
• 随机函数
• 生成函数
• 算法信息论
• 随机变量的收敛

分类：

• 随机
• 概率与统计
• 概率论

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