在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 定义 例子 斯科罗霍德空间 斯科罗霍德空间的性质 完备性 分离性 斯科罗霍德空间中的胎紧性 代数结构与拓扑结构 参考文献 [/micxp_title] [#] 累积分布函数是右连左极函数的一个例子。 令${\displaystyle (M,d)}$为度量空间，并令${\displaystyle E\subseteq \mathbb{R}}$。函数${\displaystyle f:E\to M}$称为右连左极函数。若对于每一${\displaystyle t\in E}$，都有

• 左极限${\displaystyle f(t-):=\underset{s\uparrow t}{lim}f(s)}$存在；且
• 右极限${\displaystyle f(t+):=\underset{s\downarrow t}{lim}f(s)}$存在并等于${\displaystyle f(t)}$，

即${\displaystyle f}$ 是右连续的且有左极限。 [##]

• 全部连续函数都是右连左极函数。
• 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

[###] 从${\displaystyle E}$到${\displaystyle M}$的所有右连左极函数的集合常记为${\displaystyle D(E;M)}$或简记为${\displaystyle D}$，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓扑，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收敛拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取${\displaystyle E=[0,T]}$，${\displaystyle M={\mathbb{R}}^n}$（Billingsley的书中描述了更一般的拓扑） 首先我们必须定义连续性模的一个模拟${\displaystyle {\varpi }_f^{\prime }(\delta )}$。对于任意${\displaystyle F\subseteq E}$，使

${\displaystyle w_f(F):=\underset{s,t\in F}{sup}|f(s)-f(t)|}$

且对于${\displaystyle \delta >0}$，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为

${\displaystyle {\varpi }_f^{\prime }(\delta ):=\underset{\mathrm{\Pi }}{inf}\underset{1\le i\le k}{max}{w}_f([t_{i-1},t_i)),}$

其中最大下界对所有划分，${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$都存在，且。这一定义对于非右连左极函数${\displaystyle f}$是有意义的（就如通常的连续性模对于不连续函数是有意义的）且可以说明${\displaystyle f}$是右连左极函数当且仅当${\displaystyle \delta \to 0}$时${\displaystyle {\varpi }_f^{\prime }(\delta )\to 0}$。 这是令${\displaystyle \mathrm{\Lambda }}$表示从${\displaystyle E}$到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令

${\displaystyle \parallel f\parallel :=\underset{t\in E}{sup}|f(t)|}$

表示${\displaystyle E}$上的函数的一致范数。将${\displaystyle D}$ 上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric）${\displaystyle \sigma }$定义为

${\displaystyle \sigma (f,g):=\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{inf}max\{\parallel \lambda -I\parallel ,\parallel f-g\circ \lambda \parallel \},}$

其中${\displaystyle I:E\to E}$是恒等函数。以“蠕动”这种直观感觉来看，${\displaystyle \parallel \lambda -I\parallel }$度量了“时间的蠕动”，而${\displaystyle \parallel f-g\circ \lambda \parallel }$度量了“空间的蠕动”。 我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由${\displaystyle \sigma }$生成的拓扑${\displaystyle \mathrm{\Sigma }}$称为${\displaystyle D}$上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。 [####] [#####] 虽然D 不是关于斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关于D 的拓扑等价度量 σ0 。 [######] 关于σ 或σ0 的D 是可分空间，因此斯科罗霍德空间是Polish空间。 [#######] 通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列${\displaystyle ({\mu }_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}}$是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件：

${\displaystyle \underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\mu }_n\{f\in D|\parallel f\parallel \ge a\}=0,}$

和

${\displaystyle \underset{\delta \to 0}{lim}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{\mu }_n\{f\in D|{\varpi }_f^{\prime }(\delta )\ge \epsilon \}=0\text{ for all }\epsilon >0.}$

[########] 在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。 [#########]

• Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 
• Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9. 

分类：

• 实分析
• 随机过程
• 函数

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直接搬运，自己看懂了么？