在概率论和统计学中，相关（Correlation，或称相关系数或关联系数），显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向。在统计学中，相关的意义是用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。在这个广义的定义下，有许多根据数据特点而定义的用来衡量数据相关的系数。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 各种相关系数 皮尔逊积差系数（Pearson's product moment coefficient） 几何特征 统计学上的相关 参考文献 参见 [/micxp_title] [#] 对于不同测量尺度的变数，有不同的相关系数可用：

• Pearson相关系数（Pearson's r）：衡量两个等距尺度或等比尺度变数之相关性。是最常见的，也是学习统计学时第一个接触的相关系数。
• 净相关（英语：partial correlation）：在模型中有多个自变数（或解释变数）时，去除掉其他自变数的影响，只衡量特定一个自变数与因变数之间的相关性。自变数和因变数皆为连续变数。
• 相关比（英语：correlation ratio）：衡量两个连续变数之相关性。

• Gamma相关系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。
• Spearman等级相关系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。
• Kendall等级相关系数（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）：衡量两个人为次序尺度变数（原始资料为等距尺度）之相关性。
• Kendall和谐系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。

• Phi相关系数（英语：Phi coefficient）：衡量两个真正名目尺度的二分变数之相关性。
• 列联相关系数（英语：contingency coefficient）：衡量两个真正名目尺度变数之相关性。
• 四分相关（英语：tetrachoric correlation）：衡量两个人为名目尺度（原始资料为等距尺度）的二分变数之相关性。
• Kappa一致性系数（英语：K coefficient of agreement）：衡量两个名目尺度变数之相关性。

• 点二系列相关系数（英语：point-biserial correlation）：X变数是真正名目尺度二分变数。Y变数是连续变数。
• 二系列相关系数（英语：biserial correlation）：X变数是人为名目尺度二分变数。Y变数是连续变数。

[##] 主条目：皮尔逊积矩相关系数 [###] 对于居中的数据来说（何谓居中？也就是每个数据减去样本均值，居中后它们的平均值就为0），相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的cosine函数。一些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数（与Pearson系数不相兼容）。看下面的例子中有一个比较。例如，假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8（单位10亿美元），又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的包含5个元素的向量x、y：x =（1, 2, 3, 5, 8）、 y =（0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18） 使用一般的方法来计算向量间夹角（参考数量积），未居中的相关性系数如下：

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{\parallel \mathbf{x}\parallel \parallel \mathbf{y}\parallel }=\frac{2.93}{\sqrt{103}\sqrt{0.0983}}=0.920814711}$。

上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系：y = 0.10 + 0.01 x。因此皮尔逊相关系数应该就是1。把数据居中（x中数据减去E (x) = 3.8，y中数据减去E (y) = 0.138）后得到：x =（−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2）、y =（−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042），由此得到了预期结果：

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{\parallel \mathbf{x}\parallel \parallel \mathbf{y}\parallel }=\frac{0.308}{\sqrt{30.8}\sqrt{0.00308}}=1={\rho }_{xy}}$，

[####] 相关系数的计算过程可表示为：将每个变量都转化为标准单位，乘积的平均数即为相关系数[1]。 两个变量的关系可以直观地用散点图表示，当其紧密地群聚于一条直线的周围时，变量间存在强相关[2]。 一个散点图可以用五个统计量来概括。所有x值得平均数，所有x值的SD，所有y值得平均数，所有y值的SD，相关系数r. 将第一个变量记为x ,第二个变量记为y ,相关系数为r，则可以通过以下公式： r = [（以标准单位表示的x）X（以标准单位表示的y）]的平均数 [#####]

1. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 148. ISBN 9780393960433. 3 （English）.  引文使用过时参数 (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
2. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 156. ISBN 9780393960433. 3 （English）.  引文使用过时参数 (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)

[######]

• 相关不蕴涵因果

查 论 编 统计学 描述统计学 连续概率 集中趋势 平均数（平方 · 算术 · 几何 · 调和 · 算术-几何 · 几何-调和 · 希罗|平均数不等式） · 中位数 · 众数 离散程度 全距 · 标准差 · 变异系数 · 百分位数 · 四分差 · 四分位数 · 方差 · 标准分数 · 切比雪夫不等式 分布形态（英语：Shape of the distribution） 偏态 · 峰态 离散概率 次数（英语：Count data） · 列联表（英语：Contingency table） 推论统计学 和 假设检定 推论统计学 置信区间 · 区间估计（英语：Interval estimation） · 显著性差异 · 元分析 · 贝氏推论 实验设计 统计总量 · 抽样 · 重复（英语：Replication (statistics)） · 阻碍 · 特敏度 · 区集（英语：Blocking (statistics)） 样本量（英语：Sample size） 统计功效 · 效应值 · 标准误 · 虚无假设 · 对立假设（英语：Alternative hypothesis） · 第一型和第二型误差 · 统计检定力（英语：Statistical power） 常规估计 贝叶斯推论 · 区间估计（英语：Interval estimation） · 最大似然估计 · 最小距离估计（英语：Minimum distance estimation） · 矩量法 · 最大间距 特效检验 Z检验（英语：Z-test） · 学生t检验 · F检验 · 卡方检验 · Wald检验（英语：Wald test） · 曼-惠特尼检验（英语：Mann–Whitney U test） · 秩和检验 生存分析 生存函数 · 乘积极限估计量 · 对数秩和检定 · 失效率 · 危险比例模式 相关及 回归分析 相关性 混淆变项（英语：Confounding） · 皮尔森积差相关系数 · 等级相关（英语：Rank correlation） (史匹曼等级相关系数 · 肯德等级相关系数（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）) 线性回归 线性模式（英语：Linear model） · 一般线性模式 · 广义线性模式 · 方差分析 · 协方差分析（英语：Analysis of covariance） 非线性回归（英语：Nonlinear regression） 非参数回归模型（英语：Nonparametric regression） · 半参数回归模型（英语：Semiparametric regression） · Logit模型 统计图形 饼图 · 条形图 · 双标图 · 箱形图 · 管制图 · 森林图（英语：Forest plot） · 直方圖 · QQ图 · 趋势图 · 散布图（英语：Scatter plot） · 茎叶图（英语：Stem-and-leaf display） · 雷达图（英语：Radar chart） · 示意地图 分类 共享资源

分类：

• 协方差与相关性
• 统计学术语

隐藏分类：

• 含有过时参数的引用的页面
• 引文格式1维护：未识别语文类型

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在概率论和统计学中，相关（Correlation，或称相关系数或关联系数），显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向。在统计学中，相关的意义是用来衡量两个变量相对于其相互独立的距离。在这个广义的定义下，有许多根据数据特点而定义的用来衡量数据相关的系数。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 各种相关系数 皮尔逊积差系数（Pearson's product moment coefficient） 几何特征 统计学上的相关 参考文献 参见 [/micxp_title] [#] 对于不同测量尺度的变数，有不同的相关系数可用：

• Pearson相关系数（Pearson's r）：衡量两个等距尺度或等比尺度变数之相关性。是最常见的，也是学习统计学时第一个接触的相关系数。
• 净相关（英语：partial correlation）：在模型中有多个自变数（或解释变数）时，去除掉其他自变数的影响，只衡量特定一个自变数与因变数之间的相关性。自变数和因变数皆为连续变数。
• 相关比（英语：correlation ratio）：衡量两个连续变数之相关性。

• Gamma相关系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。
• Spearman等级相关系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。
• Kendall等级相关系数（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）：衡量两个人为次序尺度变数（原始资料为等距尺度）之相关性。
• Kendall和谐系数：衡量两个次序尺度变数之相关性。

• Phi相关系数（英语：Phi coefficient）：衡量两个真正名目尺度的二分变数之相关性。
• 列联相关系数（英语：contingency coefficient）：衡量两个真正名目尺度变数之相关性。
• 四分相关（英语：tetrachoric correlation）：衡量两个人为名目尺度（原始资料为等距尺度）的二分变数之相关性。
• Kappa一致性系数（英语：K coefficient of agreement）：衡量两个名目尺度变数之相关性。

• 点二系列相关系数（英语：point-biserial correlation）：X变数是真正名目尺度二分变数。Y变数是连续变数。
• 二系列相关系数（英语：biserial correlation）：X变数是人为名目尺度二分变数。Y变数是连续变数。

[##] 主条目：皮尔逊积矩相关系数 [###] 对于居中的数据来说（何谓居中？也就是每个数据减去样本均值，居中后它们的平均值就为0），相关系数可以看作是两个随机变量中得到的样本集向量之间夹角的cosine函数。一些实际工作者更喜欢用非居中的相关系数（与Pearson系数不相兼容）。看下面的例子中有一个比较。例如，假设五个国家的国民生产总值分别是1、2、3、5、8（单位10亿美元），又假设这五个国家的贫困比例分别是11%、12%、13%、15%、18%。则我们现在有两个有序的包含5个元素的向量x、y：x =（1, 2, 3, 5, 8）、 y =（0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18） 使用一般的方法来计算向量间夹角（参考数量积），未居中的相关性系数如下：

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{\parallel \mathbf{x}\parallel \parallel \mathbf{y}\parallel }=\frac{2.93}{\sqrt{103}\sqrt{0.0983}}=0.920814711}$。

上面的数据实际上是故意选择了一个完美的线性关系：y = 0.10 + 0.01 x。因此皮尔逊相关系数应该就是1。把数据居中（x中数据减去E (x) = 3.8，y中数据减去E (y) = 0.138）后得到：x =（−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2）、y =（−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042），由此得到了预期结果：

${\displaystyle \cos \theta =\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{\parallel \mathbf{x}\parallel \parallel \mathbf{y}\parallel }=\frac{0.308}{\sqrt{30.8}\sqrt{0.00308}}=1={\rho }_{xy}}$，

[####] 相关系数的计算过程可表示为：将每个变量都转化为标准单位，乘积的平均数即为相关系数[1]。 两个变量的关系可以直观地用散点图表示，当其紧密地群聚于一条直线的周围时，变量间存在强相关[2]。 一个散点图可以用五个统计量来概括。所有x值得平均数，所有x值的SD，所有y值得平均数，所有y值的SD，相关系数r. 将第一个变量记为x ,第二个变量记为y ,相关系数为r，则可以通过以下公式： r = [（以标准单位表示的x）X（以标准单位表示的y）]的平均数 [#####]

1. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 148. ISBN 9780393960433. 3 （English）.  引文使用过时参数 (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
2. ^ David Freedman; Robert Pisani, Roger Purves. Statistics. Norton & Company. 1998: 156. ISBN 9780393960433. 3 （English）.  引文使用过时参数 (帮助) 引文格式1维护：未识别语文类型 (link)

[######]

• 相关不蕴涵因果

查 论 编 统计学 描述统计学 连续概率 集中趋势 平均数（平方 · 算术 · 几何 · 调和 · 算术-几何 · 几何-调和 · 希罗|平均数不等式） · 中位数 · 众数 离散程度 全距 · 标准差 · 变异系数 · 百分位数 · 四分差 · 四分位数 · 方差 · 标准分数 · 切比雪夫不等式 分布形态（英语：Shape of the distribution） 偏态 · 峰态 离散概率 次数（英语：Count data） · 列联表（英语：Contingency table） 推论统计学 和 假设检定 推论统计学 置信区间 · 区间估计（英语：Interval estimation） · 显著性差异 · 元分析 · 贝氏推论 实验设计 统计总量 · 抽样 · 重复（英语：Replication (statistics)） · 阻碍 · 特敏度 · 区集（英语：Blocking (statistics)） 样本量（英语：Sample size） 统计功效 · 效应值 · 标准误 · 虚无假设 · 对立假设（英语：Alternative hypothesis） · 第一型和第二型误差 · 统计检定力（英语：Statistical power） 常规估计 贝叶斯推论 · 区间估计（英语：Interval estimation） · 最大似然估计 · 最小距离估计（英语：Minimum distance estimation） · 矩量法 · 最大间距 特效检验 Z检验（英语：Z-test） · 学生t检验 · F检验 · 卡方检验 · Wald检验（英语：Wald test） · 曼-惠特尼检验（英语：Mann–Whitney U test） · 秩和检验 生存分析 生存函数 · 乘积极限估计量 · 对数秩和检定 · 失效率 · 危险比例模式 相关及 回归分析 相关性 混淆变项（英语：Confounding） · 皮尔森积差相关系数 · 等级相关（英语：Rank correlation） (史匹曼等级相关系数 · 肯德等级相关系数（英语：Kendall tau rank correlation coefficient）) 线性回归 线性模式（英语：Linear model） · 一般线性模式 · 广义线性模式 · 方差分析 · 协方差分析（英语：Analysis of covariance） 非线性回归（英语：Nonlinear regression） 非参数回归模型（英语：Nonparametric regression） · 半参数回归模型（英语：Semiparametric regression） · Logit模型 统计图形 饼图 · 条形图 · 双标图 · 箱形图 · 管制图 · 森林图（英语：Forest plot） · 直方圖 · QQ图 · 趋势图 · 散布图（英语：Scatter plot） · 茎叶图（英语：Stem-and-leaf display） · 雷达图（英语：Radar chart） · 示意地图 分类 共享资源

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• 统计学术语

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