福克-普朗克方程（Fokker–Planck equation）描述粒子在势能场中受到随机力后，随时间演化的位置或是速度的分布函数 [1] 。此方程以荷兰物理学家阿德历安·福克（英语：Adriaan Fokker）[2]与马克斯·普朗克[3]的姓氏来命名。

一维 x方向上,福克-普朗克方程有两个参数，一是拖拽参数 D1(x,t)，另一是扩散 D2(x,t)

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}f(x,t)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}[D_1(x,t)f(x,t)]+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}[D_2(x,t)f(x,t)].}$

在${\displaystyle N}$ 维空间中的福克-普朗克方程是

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}[D_i^1(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N)f]+\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}[D_{ij}^2(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N)f],}$ ${\displaystyle x_i}$ 是第${\displaystyle i}$维度的位置，此时 ${\displaystyle D^1}$为拖拽矢量，${\displaystyle D^2}$为扩散张量。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 与随机方程的关系 参考资料 相关条目 延伸阅读 外部链接 [/micxp_title] [#] 福克-普朗克方程可以用来计算随机过程里随机微分方程中分布函数的解。 一个受随机力的经典粒子，经由朗之万方程(Langevin equation)可以得到福克-普朗克方程。另外再借由福克-普朗克方程也可推导薛定谔方程 [4]。 [##]

1. ^ Leo P. Kadanoff. Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization. World Scientific. 2000. ISBN 9810237642. 
2. ^ A. D. Fokker, Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld, Ann. Phys. 348 (4. Folge 43), 810–820 (1914).
3. ^ M. Planck, Sitz.ber. Preuß. Akad. (1917).
4. ^ Edward Nelson ,"Derivation of the Schrödinger Equation from Newtonian Mechanics",Phys. Rev. 150, 1079–1085 (1966)

[###]

• 马克斯·普朗克和阿德历安·福克（英语：Adriaan Fokker）
• 朗之万方程(Langevin equation)
• （英文）Ornstein–Uhlenbeck process

[####]

• Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.

[#####]

• 福克–普朗克方程 on the Earliest known uses of some of the words of mathematics

分类：

• 统计力学
• 随机过程

隐藏分类：

• 自2015年12月连结格式不正确的条目

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福克-普朗克方程（Fokker–Planck equation）描述粒子在势能场中受到随机力后，随时间演化的位置或是速度的分布函数 [1] 。此方程以荷兰物理学家阿德历安·福克（英语：Adriaan Fokker）[2]与马克斯·普朗克[3]的姓氏来命名。

一维 x方向上,福克-普朗克方程有两个参数，一是拖拽参数 D1(x,t)，另一是扩散 D2(x,t)

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}f(x,t)=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}[D_1(x,t)f(x,t)]+\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}[D_2(x,t)f(x,t)].}$

在${\displaystyle N}$ 维空间中的福克-普朗克方程是

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=-<!--\; -\; -->\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}[D_i^1(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N)f]+\underset{i=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{N}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_j}[D_{ij}^2(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_N)f],}$ ${\displaystyle x_i}$ 是第${\displaystyle i}$维度的位置，此时 ${\displaystyle D^1}$为拖拽矢量，${\displaystyle D^2}$为扩散张量。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 与随机方程的关系 参考资料 相关条目 延伸阅读 外部链接 [/micxp_title] [#] 福克-普朗克方程可以用来计算随机过程里随机微分方程中分布函数的解。 一个受随机力的经典粒子，经由朗之万方程(Langevin equation)可以得到福克-普朗克方程。另外再借由福克-普朗克方程也可推导薛定谔方程 [4]。 [##]

1. ^ Leo P. Kadanoff. Statistical Physics: statics, dynamics and renormalization. World Scientific. 2000. ISBN 9810237642. 
2. ^ A. D. Fokker, Die mittlere Energie rotierender elektrischer Dipole im Strahlungsfeld, Ann. Phys. 348 (4. Folge 43), 810–820 (1914).
3. ^ M. Planck, Sitz.ber. Preuß. Akad. (1917).
4. ^ Edward Nelson ,"Derivation of the Schrödinger Equation from Newtonian Mechanics",Phys. Rev. 150, 1079–1085 (1966)

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• 马克斯·普朗克和阿德历安·福克（英语：Adriaan Fokker）
• 朗之万方程(Langevin equation)
• （英文）Ornstein–Uhlenbeck process

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• Hannes Risken, "The Fokker–Planck equation : Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.

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• 福克–普朗克方程 on the Earliest known uses of some of the words of mathematics

分类：

• 统计力学
• 随机过程

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