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太子妃
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发表于 2016-10-8 04:32:33 2502 0 | 显示全部楼层 |倒序浏览

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布朗运动（Brownian motion）过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

它是在公元1827年[1]英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是有水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子越大，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10-8厘米。

[micxp_threadbk] [micxp_title] 定义对于布朗运动之误解爱因斯坦的理论数学模型其他定义性质布朗运动的数学构造利用随机过程利用傅立叶级数参见脚注外部链接 [/micxp_title] [#] 自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：[2]

粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
粒子的成分及密度对其运动没有影响。
粒子的运动永不停止。

[##] 值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。一般而言，花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm（非球形，故依部位而有些许差异。），略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。

花粉具备足够大小，几乎无法观测到布朗运动。在日本，以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞，岩波书店‘岩波理科辞典’[3]、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌二‘物理学原论（上）’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中，点出此误谬之前，鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’（1970年）时，实际摄影漂浮在水中之花粉，却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月，以“外行人与专家之间”为题，解说有关布朗运动之误会。 [###] 爱因斯坦的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦可决定原子的大小，一莫耳有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。爱因斯坦论点的第一部分是确定布朗粒子在给定的时间内传播距离。古典力学无法确定这个距离，因为一个布朗粒子受到每秒大约10 21剧烈碰撞。因此爱因斯坦考虑布朗粒子的集体运动。他表明，如果ρ（x，t）是布朗粒子的密度，在位子x与时间t，则ρ满足扩散方程：

\frac{\partial ρ}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} ρ}{\partial x^{2}}, {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},}

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial x^{2}}},

其中D质量扩散系数。假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解

ρ (x, t) = \frac{ρ_{0}}{\sqrt{4 π D t}} e^{- \frac{x^{2}}{4 D t}} . {\displaystyle \rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{\sqrt {4\pi Dt}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}.}

\rho (x,t)={\frac {\rho _{0}}{{\sqrt {4\pi Dt}}}}e^{{-{\frac {x^{2}}{4Dt}}}}.

[####] [#####]

3000步的2维布朗运动的模拟。 File:Brownien3d.ogg

播放媒体 1000步的3维布朗运动模拟。一维的定义一维布朗运动

(B_{t})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}

\scriptstyle (B_{t})_{{t\geq 0}}

是关于时间t的一个随机过程，他满足：

（独立增量）设时间t和s满足t > s,增量 $B_{t} - B_{s} {\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$ $\scriptstyle B_{t}-B_{s}$ 独立于时间s前的过程 $(B_{u})_{0 \leq u \leq s} {\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$ $\scriptstyle (B_{u})_{{0\leq u\leq s}}$ 。
（稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量 $B_{t} - B_{s} {\displaystyle \scriptstyle B_{t}-B_{s}}$ $\scriptstyle B_{t}-B_{s}$ 服从均值为0方差为t−s的正态分布。
$(B_{t})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ $\scriptstyle (B_{t})_{{t\geq 0}}$ 几乎处处连续，也就是说在任何可能性下，函数 $t \mapsto B_{t} (ω) {\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$ $\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$ 是连续的.
通常假设 $B_{0} = 0 {\displaystyle \scriptstyle B_{0}=0}$ $\scriptstyle B_{0}=0$ 。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义一维布朗运动

(B_{t})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}

\scriptstyle (B_{t})_{{t\geq 0}}

是关于时间t的一个随机过程，他满足：

$(B_{t})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ $\scriptstyle (B_{t})_{{t\geq 0}}$ 是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列： $t_{1} \leq t_{2} \leq . . . \leq t_{n} {\displaystyle \scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}}$ $\scriptstyle t_{1}\leq t_{2}\leq ...\leq t_{n}$ ,随机向量： $(B_{t_{1}}, B_{t_{2}}, . . ., B_{t_{n}}) {\displaystyle \scriptstyle (B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})}$ $\scriptstyle (B_{{t_{1}}},B_{{t_{2}}},...,B_{{t_{n}}})$ 服从高维高斯分布（正态分布）。
$(B_{t})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}$ $\scriptstyle (B_{t})_{{t\geq 0}}$ 几乎处处连续。
对于所有s和t,均值 $E [B_{t}] = 0 {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{t}]=0}$ $\scriptstyle {\mathbb E}[B_{t}]=0$ ，协方差 $E [B_{s} B_{t}] = m i n (s, t) {\displaystyle \scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$ $\scriptstyle E[B_{s}B_{t}]=min(s,t)$ .

高维定义

 $(B_{t})_{t \geq 0} := {(B_{t}^{1}, B_{t}^{2}, . . ., B_{t}^{d})}_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq 0}}$  $\scriptstyle (B_{t})_{{t\geq 0}}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{{t\geq 0}}$ 是d维布朗运动，只需满足 $B^{1}, B^{2}, . . ., B^{d} {\displaystyle \scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}}$  $\scriptstyle B^{1},B^{2},...,B^{d}$ 为独立的布朗运动。

换句话说，d维布朗运动取值于

R^{d} {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{d}}

\scriptstyle {\mathbb R}^{d}

，而它在

R, R^{2}, . . ., R^{d - 1} {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{2},...,\mathbb {R} ^{d-1}}

\scriptstyle {\mathbb R},{\mathbb R}^{2},...,{\mathbb R}^{{d-1}}

空间上的投影均为布朗运动。 Wiener测度的定义设

C (R^{+}, R) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}

\scriptstyle {\mathcal C}({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})

为从

R^{+} {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{+}}

\scriptstyle {\mathbb R}^{+}

到

R {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }

\scriptstyle {\mathbb R}

的连续函数空间，

(Ω, T, P) {\displaystyle \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {T}},\mathbb {P} )}

\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal T},{\mathbb P})

为概率空间。布朗运动为映射

B : Ω ⟶ C (R^{+}, R) {\displaystyle B:\Omega \longrightarrow C(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}

B:\Omega \longrightarrow C({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})

ω \mapsto (t \mapsto B_{t} (ω)) {\displaystyle \omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)}

\omega \mapsto \left(t\mapsto B_{t}(\omega )\right)

Wiener测度（或称为布朗运动的分布）设为

W (d ω) {\displaystyle \scriptstyle W(d\omega )}

\scriptstyle W(d\omega )

,是映射B关于

P (d ω) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {P} (d\omega )}

\scriptstyle {\mathbb P}(d\omega )

的图测度。换句话说， W是

C (R^{+}, R) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}

\scriptstyle {\mathcal C}({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})

上的一个概率测度，满足对于任何

A \subset C (R^{+}, R) {\displaystyle \scriptstyle A\subset {\mathcal {C}}(\mathbb {R} ^{+},\mathbb {R} )}

\scriptstyle A\subset {\mathcal C}({\mathbb R}^{+},{\mathbb R})

，有

W (A) = P ((B_{t})_{t \geq 0} \in A) {\displaystyle W(A)=\mathbb {P} ((B_{t})_{t\geq 0}\in A)}

W(A)={\mathbb P}((B_{t})_{{t\geq 0}}\in A)

。

备忘

布朗运动是一种增量服从正态分布的Lévy过程。
这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来，即：轨迹连续且二次变差为 $t {\displaystyle t}$ $t$ 的随机过程为布朗运动。

[######]

布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何 $ω \in Ω {\displaystyle \scriptstyle \omega \in \Omega }$ $\scriptstyle \omega \in \Omega$ ,轨道 $t \mapsto B_{t} (ω) {\displaystyle \scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )}$ $\scriptstyle t\mapsto B_{t}(\omega )$ 为一个连续但是零可微的函数。
协方差 $E [B_{s} B_{t}] = m i n (s, t) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} [B_{s}B_{t}]=min(s,t)}$ $\scriptstyle {\mathbb E}[B_{s}B_{t}]=min(s,t)$ 。
布朗运动具有强马氏性：对于停时T,取条件 $[T < \infty] {\displaystyle \scriptstyle [T<\infty ]}$ $\scriptstyle [T<\infty ]$ ,过程 $(B_{t}^{T})_{t \geq 0} := (B_{T + t} - B_{T})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t}^{T})_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_{T})_{t\geq 0}}$ $\scriptstyle (B_{t}^{T})_{{t\geq 0}}:=(B_{{T+t}}-B_{T})_{{t\geq 0}}$ 为一个独立于 $(B_{s})_{0 \leq s < T} {\displaystyle \scriptstyle (B_{s})_{0\leq s$ $\scriptstyle (B_{{s}})_{{0\leq s<T}}$ 的布朗运动。
它的Fourier变换或特征函数为 $E [e^{i u B_{t}}] = e^{- \frac{t u^{2}}{2}} {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} \left[e^{iuB_{t}}\right]=e^{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}$ $\scriptstyle {\mathbb E}\left[e^{{iuB_{t}}}\right]=e^{{-{\frac {tu^{2}}{2}}}}$ 。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
布朗运动关于时间是齐次的：对于s > 0, $(B_{t + s} - B_{s})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t+s}-B_{s})_{t\geq 0}}$ $\scriptstyle (B_{{t+s}}-B_{s})_{{t\geq 0}}$ 是一个独立于 $(B_{u})_{0 \leq u \leq s} {\displaystyle \scriptstyle (B_{u})_{0\leq u\leq s}}$ $\scriptstyle (B_{u})_{{0\leq u\leq s}}$ 的布朗运动。
-B是一个布朗运动。
（稳定性）对于c > 0， ${(c B_{\frac{t}{c^{2}}})}_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle \left(cB_{\frac {t}{c^{2}}}\right)_{t\geq 0}}$ $\scriptstyle \left(cB_{{{\frac {t}{c^{2}}}}}\right)_{{t\geq 0}}$ 是布朗运动。
（时间可逆性） ${(t B_{\frac{1}{t}})}_{t > 0} {\displaystyle \scriptstyle \left(tB_{\frac {1}{t}}\right)_{t>0}}$ $\scriptstyle \left(tB_{{{\frac {1}{t}}}}\right)_{{t>0}}$ 在t=0之外是布朗运动。
（常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：

如果

d \in {1, 2} {\displaystyle \scriptstyle d\in \{1,2\}}

\scriptstyle d\in \{1,2\}

,集合

{t \geq 0, B_{t} = x} {\displaystyle \scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}}

\scriptstyle \{t\geq 0,B_{t}=x\}

不是有界的，对于任何

x \in R^{d} {\displaystyle \scriptstyle x\in \mathbb {R} ^{d}}

\scriptstyle x\in {\mathbb R}^{d}

，

如果

d \geq 3, lim_{t \to \infty} | | B_{t} | | = + \infty {\displaystyle \scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{t\rightarrow \infty }||B_{t}||=+\infty }

\scriptstyle d\geq 3,\,\,\,\lim _{{t\rightarrow \infty }}||B_{t}||=+\infty

（几乎处处）。

（反射原理）

P [sup_{0 \leq s \leq t} B_{s} \geq a] = 2 P [B_{t} \geq a] = P [| B_{t} | \geq a] . {\displaystyle \mathbb {P} [\sup _{0\leq s\leq t}B_{s}\geq a]=2\mathbb {P} [B_{t}\geq a]=\mathbb {P} [|B_{t}|\geq a].}

{\mathbb P}[\sup _{{0\leq s\leq t}}B_{s}\geq a]=2{\mathbb P}[B_{t}\geq a]={\mathbb P}[|B_{t}|\geq a].

[#######] [########] Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

{(\frac{1}{σ \sqrt{n}} (\sum_{k = 1}^{[n t]} U_{k} + (n t - [n t]) U_{[n t] + 1}))}_{0 \leq t \leq 1} \underset{n \to \infty}{⟹} (B_{t})_{0 \leq t \leq 1} {\displaystyle \left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leq t\leq 1}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{0\leq t\leq 1}}

\left({\frac {1}{\sigma {\sqrt {n}}}}\left(\sum _{{k=1}}^{{[nt]}}U_{k}+(nt-[nt])U_{{[nt]+1}}\right)\right)_{{0\leq t\leq 1}}{\underset {n\rightarrow \infty }{\Longrightarrow }}(B_{t})_{{0\leq t\leq 1}}

其中（Un, n ≥ 1）独立同分布，均值为0,方差为σ的随机变量序列。 [#########] 设2列独立的正态

N (0, 1) {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {N}}(0,1)}

\scriptstyle {\mathcal N}(0,1)

随机变量序列

(N_{k}, k \in N) {\displaystyle \scriptstyle (N_{k},k\in \mathbb {N} )}

\scriptstyle (N_{k},k\in {\mathbb N})

和

(N_{k}^{'}, k \in N) {\displaystyle \scriptstyle (N'_{k},k\in \mathbb {N} )}

\scriptstyle (N'_{k},k\in {\mathbb N})

。定义

(B_{t})_{t \geq 0} {\displaystyle \scriptstyle (B_{t})_{t\geq 0}}

\scriptstyle (B_{t})_{{t\geq 0}}

：

B_{t} := t N_{0} + \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{\sqrt{2}}{2 π k} (N_{k} \cos (2 π k t - 1) + N_{k}^{'} \sin (2 π k t)) {\displaystyle B_{t}:=tN_{0}+\sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)}

B_{t}:=tN_{0}+\sum _{{k=1}}^{{+\infty }}{\frac {{\sqrt {2}}}{2\pi k}}\left(N_{k}\cos(2\pi kt-1)+N_{k}'\sin(2\pi kt)\right)

为布朗运动。 [##########]

维纳过程

[###########]

^ 部分纪录为1828年。
^ 李育嘉. 漫谈布朗运动.
^ 该辞典已于1987年所发行之第四版中修正。

[############]

漫谈布朗运动

查论编分形

特性	分形维数豪斯多夫维数拓扑维数计盒维数递归自相似

迭代函数系统	巴恩斯利蕨叶（英语：Barnsley fern）康托尔集龙形曲线科赫雪花门格海绵谢尔宾斯基地毯谢尔宾斯基三角形空间填充曲线（英语：Space-filling curve） T型方间（英语：T-square (fractal)）魏尔斯特拉斯函数单峰映象莱维C形曲线希尔伯特曲线

奇异吸子	多重分形系统（英语：Multifractal system）

L系统	空间填充曲线（英语：Space-filling curve） H树

逃逸时间分形	燃烧巨轮分形（英语：Burning Ship fractal）朱利亚集合李亚普诺夫分形（英语：Lyapunov fractal）曼德博集合牛顿分形（英语：Newton fractal）

随机分形	布朗运动布朗树（英语：Brownian tree）扩散限制凝聚（英语：Diffusion-limited aggregation）分形地形（英语：Fractal landscape）莱维飞行（英语：Lévy flight）逾渗理论（英语：Percolation theory）自避行走（英语：Self-avoiding walk）

学者	格奥尔格·康托尔费利克斯·豪斯多夫加斯东·朱利亚（英语：Gaston Julia）海里格·冯·科赫保罗·皮埃尔·莱维亚历山大·李亚普诺夫本华·曼德博刘易斯·弗雷·理查森（英语：Lewis Fry Richardson）瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基

其他相关	“英国的海岸线有多长？” 海岸悖论（英语：Coastline paradox）以豪斯多夫维数排列分形列表（英语：List of fractals by Hausdorff dimension）分形压缩仿射变换

规范控制	GND: 4128328-4 NDL: 00560924 NKC: ph195850

分类：

随机过程
统计力学
阿尔伯特·爱因斯坦

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